数学が破滅？

質問

実は、数学は、間違っていると危ぶまれた次期が過去の数学の歴史にあるらしいですが本当ですか？あと今と全く違う理論で違う数学を作ることは、可能らしいですか、それをやっている数学者はいますか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>間違っていると危ぶまれた次期が過去の数学の歴史にあるらしいですが本当ですか？

んーー・・・これに相当するのは
19世紀末から20世紀前半にかけての
いわゆる「数学の危機」の
話題だとは思います．そもそも間違ってるとか
そういうレベルの問題ではないのですが。。。

この時期，カントールって人が無限を真正面から
扱う議論を見つけ出したりして，
実数とは何か，無限とは何かとか
今までいってしまえば「なぁなぁ」というか，
暗黙の了解で済んでた部分に議論が進んでいったんです．
そうしたら，でるわでるわ，
怪しい現象がいろいろでてきたのです．
一番有名なのはおそらく「ラッセルのパラドックス」．

集合の集合で，
「自分自身を要素である集合」の集合Xは
自分自身を要素であるか？

という問題です．
XがXの要素であるならば
Xは「自分自身を要素としない集合」なので
XはXに含まれない．
XがXの要素でないならば
Xは「自分自身を要素としない集合」ではないので
XはXの要素である．
どういっても矛盾です．

集合ってのは数学の根源的な対象なので，
そこにこんな単純な矛盾が見つかったので
大騒ぎになって，このような矛盾が起こらないように，
大整備が始まったのです．
その大整備の結果，構築されたもの（の一つ）が
「ZFC」と呼ばれる公理系で，今の数学は
このZFCの支配下にあります．
それとともに
「公理系」が「正しい」というようなことの意味も
議論されており，
「完全性」「無矛盾性」という考え方が確立されています．
無矛盾性はともかく，
「完全性」ってのは
「すべての正しい命題を証明できること」です．

ところが，この「公理系」という考え方そのものに限界がある
というようなことも明らかになっていて，
超大雑把にいえば
「自然数の議論を含む公理系が無矛盾ならば完全ではない」
「自然数の議論を含む公理系が無矛盾ならば，
自身の無矛盾を証明できない」
なんていうことまでわかってます．
例えば，ZFCは「ZF」という公理系に
「C」という別の公理を加えたものですが，Cそのものは
ZFからは証明も否定もできないですし，
「連続体仮説」と呼ばれる問題
（カントールはこの問題を解くのに精神を衰弱させて死期を早めたはず）
はZFCから独立していることも分かってます．

>あと今と全く違う理論で違う数学を作ることは、可能らしいですか、それをやっている数学者はいますか？

「全く違う」というのが微妙ですが，
数学基礎論の一分野にこれに相当するものがあります．
現在はZFCをベースに数学を構築するのが一般的ですが，
ZFCではなく，別の（もっと弱い）公理系を使って
どれくらいの範囲の数学が構築できるか？，
限界はどこか？，
公理系の「弱さ」の順番はどうなってるのか？
こういう議論は盛んに行われています．
例えば「数学的帰納法」をターゲットにして
公理系を弱くしたり強くしたりします．
他にも
「数学の有名な定理はどの公理を仮定すれば証明できるのか」
という研究もあります（inverse mathematicsという）．

実はこういう「公理系」とかの近辺の研究は，
コンピュータのアルゴリズムの議論とも
関係してるので，今もがしがし研究されています．

お礼

実は、予備校の先生からこのような質問のきっかけになる話を過去きいたのですがここまで詳しく聞いたのは、初めてですありがとうございます

回答No.2

jokerswild_2006

＃１さんの言っている意味で正しいと思います。

現代の数学もかなり怪しいです。ただし、怪しい、というのは「無限」の概念が絡んでくるような部分であって、われわれがやっている普通の計算や数学にはほとんど問題がありません。

数学のピンチだった一例を挙げるとすると「選択公理」というのがあります。ある時期、「選択公理」は成り立つだろう、とみんな勝手に思い込んで数学を発展させていた時代があります。選択公理というのは、簡単に言うと、無限個の石が宇宙にずらりと並んでいるときに、それを一瞬で重さの軽い順に並べ替えることができる、というものです（あくまでたとえですけど）。

でも、あとの時代になって、本当に成り立つのかな、と疑惑がわいてきました。無限個の石を一瞬で軽い順に並べ替えるのは、神様ならできそうな気もしますが、数学としてできるとも断言できません。それができる、という仮定のもとにずっと数学を発展させていたのです。結局、成り立つかどうかはわからない、という結論になり、選択公理が成り立つ場合と成り立たない場合の２種類の数学ができあがりました。（成り立つ場合、というのが＃１さんのZFC集合論、という数学の学問です。）

まったく違う数学を作る、という話ですが、それは可能ですし、それをやっている人はたくさんいます。そういうのに興味がある場合は、大学の数学で「数学基礎論」という分野に進むと学べます。でも、ちょっと危険な学問ですけど、、、

あと、中学生で習う「平行線」というのも怪しいです。平行線が引けるとみんな思い込んでいますが、われわれの世界で平行線が引けない可能性はじゅうぶんあります。でも、誰もそれをはっきり言いません。どのように２つの直線をひいても、ずっと先では交わってしまうような空間に人間は住んでいる可能性もあります。なので、三角形の内角の和が１８０度というのも、実は間違っている可能性があります。大学で数学をやった人ならみんなそんなことはわかっていますが、中学生にそんなことを言ってもわからないので、三角形の内角の和は１８０度だと教えてしまっているのです。（地球というせまい世界では１８０度くらいにはなりますので。）

お礼

実は、僕理学部の１年なんですが平行線や１８０度は、いまだに信じてました。２、３学年からマニアックな数学があるみたいで僕がやるのは物理数学みたいのが多いですが早くそのようなレベルの数学を勉強したいですね。なんだか数学の世界は、怖くなるほど深いですねありがとうございます。