フーリエ変換

質問

微分方程式をフーリエ変換を用いて解くとき、たとえば１次元の熱伝導方程式を解く場合は、微分と積分の繰り返しで簡単に解くことができます。ところが、ヘルツホルム方程式（または二階常微分方程式）などの際にはフーリエ変換後に複素積分を行う必要があります。両者の違いはなんでしょうか。どのようなときに複素積分が必要でになるのでしょうか。アドバイスをお願いします。

回答No.2

noname#101087

参照ページの [近軸のとき] に挙げられている例がわかり易いかも。

変数分離した近軸-近似解として、「電場の複素強度？(electric field complex magnitude) E は
　E(r) = A(r)e^(-jkz)
となる。ここで A は電場の複素振幅を表し、それに指数関数で表される正弦波的な変調がかかっている。」

とあり、e^(-jkz) が振動項です。

お礼

解答本当にありがとうございます。では例えば強制振動の微分方程式のように、右辺にfexp(iwt)のような項があり、解が減衰しないと予測できる場合には,一般的に複素積分が必要だろう、と見当をつけて正しいということでしょうか。

補足

またどうして振動項があると複素積分が現れるのでしょうか。教えてくれませんか。

回答No.1

noname#101087

大雑把に言うと、
　(一次元)熱伝導方程式の解は、(振幅)減衰項だけ。
　ヘルツホルム方程式の解は、振動項が重畳したものになる。このようなときは「複素積分が必要」になる。

[参照ページ]
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%A0%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
>ヘルツホルム方程式

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%83%A0%E3%83%9B%E3%83%AB%E3%83%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

お礼

解答ありがとうございます。ところで振動項が重畳とはどういう意味でしょうか。もう少し詳しい解説をどうか願いします。