２行２列の行列のｎ乗

質問

Ａ　Ｂ
　　　　＝　Ｘ
０　Ａ

でＸ＾ｎはいくつになるか？
という問題があるのですが
よく分かりません。

解法から結果まで教えてもらえるとうれしいです

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

[解法1]
いくつか実験してみて
X^n=|A^n n*A^(n-1)*B|・・・（Ａ）
　　|０　　　　A^n　 |
を推定して数学的帰納法で証明．(大抵の本にはほぼ同じ問題が載っているハズです．非常に重要なので, 完全にできるようにしておくことを強くお薦めします．

念のため，(1,1)成分[左上]がA^n，(1,2)成分[右上]がn*A^(n-1)*B，
(2,1)成分[左下]が０，(2,2)成分[右下]がA^n です．

[解法2]
X=AE＋BY
ただしEは2次の単位行列で，
行列Y=|0 1|
　　　|0 0|
である．(A,Bは与えられた定数．)
すると，EY=YE=Y で EとYは交換可能であり，普通の数式と同じく二項定理が使える．
しかもY^2=Ｏ(零行列)より，展開項のうち, Yの2次以上の項はすべてＯとなる・・・(*)ことと，E^k=Eなどに注意すると

X^n=(AE+BY)^n
=(AE)^n + nＣ1*(AE)^(n-1)*(BY)+{(BY)の2次以上の項}
=A^n*E + n*A^(n-1)*B*Y+{Yの2次以上の項}
=A^n*E + n*A^(n-1)*B*Y （(*)よリ）
=|A^n n*A^(n-1)*B|
|０　　　A^n　 　|

回答No.2

oshiete_goo

#1のoshiete_gooですが, 補足です.
[解法2]の場合, 二項定理でYの2次以上の項が生じるのはn≧2の場合なので，
正確には(減点されないためには)
＞X^n=(AE+BY)^n
の前に,"n≧2のとき"と但し書きをつけておいて，
さらに，最後の式(X^nの式（Ａ）)が出た後で，"この結果の式はn=1のときも成り立つので，すべての自然数nで成立．"などと念を押しておいた方が良いです．

なお，繰り返しになりますが，学習の上では[解法1](数学的帰納法の基本形)が使いこなせることが絶対に必要ですので，完璧にマスターしておいて下さい．
また，普段は説明が自分に理解しやすい適当な参考書を使って，途中まで自分で努力してみて，「自分ではこうなってうまくいかない」といった形で質問すると，適切なアドバイスを皆さんからしてもらえると思います．