方程式が複雑で解けません

質問

ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)＝0
-cv^2 + {auv/(1+hu)}＝0　　　　r,k,h,a は正の定数
　この２式を同時に満たす(u,v)を求める問題ですが、(0,0) (k,0)は式から見当は付いたのですがその他の解が見つかりません。どうやったら導き出せるのでしょうか？　よく分からないのですが解の公式など使うのでしょうか？教えてください。

回答No.5

kts2371148

＃３です。
続きを計算すると、この方法では解けないようです。

u = m1x + n1y + l1
v = m2x + n2y + l2
を代入して 第一式×△ ＋ 第二式×□ の３つの項を消すという方針の場合、
消す方法はいろいろあるのですが、どれをやっても、
解が存在しないか、行列 (m1 n1 [改行] m2 n2) が正則にならないか、
結局３次方程式に還元されてしまうかのどれかになってしまいます。

やっぱり、３次方程式の解の公式を使うしかないかもしれません。

回答No.4

kts2371148

途中までしか計算していませんが、以下の方法で解けるかもしれません。

＃１さんご指摘の通り、u ≠ 0 , v ≠ 0 のとき、

r(1-(u/k)) - av/(1+hu) = 0
-cv + au/(1+hu) = 0

となります。そして、(1+hu)倍すると、

r(1-(u/k))(1+hu) - av = 0
-cv(1+hu) + au = 0

が得られます。ここから u についての３次方程式にすると、
恐らく解の公式を使う以外に方法がないと思います。

しかし、上の式を適切な係数で割ると、
u^2 + Au + Bv + C = 0
uv + Du + Ev = 0
の形になっています。（A,B,C,D,E は係数です。）
これは u,v についての２次方程式ですから、
２次のままでなんとか処理したいところです。

そこで、
u = m1x + n1y + l1
v = m2x + n2y + l2
とおきます。(m1,n1,l1,m2,n2,l2 は係数です。）
代入して整理すると、

(m1^2)x^2 + (2m1n1)xy + (n1^2)y^2
　　+ (2l1m1 + Am1 + Bm2)x
　　+ (2l1n1 + An1 + Bn2)y
　　+ l1^2 + Al1 + Bl2 + C = 0
(m1m2)x^2 + (m1n2 + m2n1)xy + (n1n2)y^2
　　+ (l1m2 + l2m1 + Dm1 + Em2)x
　　+ (l1n2 + l2n1 + Dn1 + En2)y
　　+ l1l2 + Dl1 + El2 = 0

となります。そして、
第一式 ＋ 第二式 の y^2,xy,y の項が消えるように
係数 m1,n1,l1,m2,n2,l2 を定めると、y が消去できます。
…といいたいところですが、実際にやってみるとできません。
この方法では、

x^2 と xy を同時に消すことはできない
y^2 と xy を同時に消すことはできない
x と y を同時に消すことはできない

という法則があります。
そこで、第一式 ＋ 第二式 の y^2,y,定数項 が消えるように係数を定めます。
つまり、

(n1^2)/(n1n2)
　　= (2l1n1 + An1 + Bn2)/(l1n2 + l2n1 + Dn1 + En2)
　　= (l1^2 + Al1 + Bl2 + C)/(l1l2 + Dl1 + El2)
　　= -1

となるように 係数 m1,n1,l1,m2,n2,l2 を定めます。
n2 = -n1 が得られますので、代入すると、

(2l1 + A - B)/(-l1 + l2 + D - E) = (l1^2 + Al1 + Bl2 + C)/(l1l2 + Dl1 + El2) = -1

となり、整理すると、

l1 + l2 + A - B + D - E = 0
l1^2 + l1l2 + (A+D)l1 + (B+E)Bl2 + C = 0

となり、l1 についての２次方程式を解けば l1,l2 が得られます。
残りの係数は、n2 = -n1 を満たし、
行列 (m1 n1 [改行] m2 n2) が正則であるように選べばよいので、
できるだけ計算しやすい値を当てはめます。
すると、第一式 ＋ 第二式 は x^2,xy,x の項だけになり、
x ≠ 0 であれば x,y の１次式になるので、
これを利用すれば x の２次式が得られ、解けると思います。
（もしこの方法で解けなかったらすいません。）

回答No.3

noname#101087

>ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)＝0
>-cv^2 + {auv/(1+hu)}＝0
>の式から(u,v)＝(k,0)も満たすかなと考えているのですが、
>　　ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]＝0・・・・(1)
>の式からは(u,v)＝(k,0)がでてきません。(1)はｖ≠０の時の場合なのでしょうか？

もとの下式は、
　　-cv^2 + {auv/(1+hu)}＝0
ですが V≠0 ならば、
　　-cv + {au/(1+hu)}＝0
と同値です。
(u,v)=(k,0) の解があるとは限らないようですね。

回答No.2

noname#101087

>ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)＝0
>-cv^2 + {auv/(1+hu)}＝0　　　　r,k,h,a は正の定数

下式から、
　　v = (au/c)/(1+hu)
これを上式へ入れると、
ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]＝0

整理すれば、u の4次方程式。

補足

アドバイスありがとうございます。四次方程式になりました。ただ
　　ru{1-(u/k)}-auv/(1+hu)＝0
　　-cv^2 + {auv/(1+hu)}＝0　
の式から(u,v)＝(k,0)も満たすかなと考えているのですが、
　　ru{1-(u/k)}-(au)^2/[c(1+hu)^2]＝0・・・・(1)
の式からは(u,v)＝(k,0)がでてきません。(1)はｖ≠０の時の場合なのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

第1式は
u * { r(1-(u/k)) - av/(1+hu) } = 0
第2式は
v * { -cv + au/(1+hu) } = 0

なので、u ≠ 0、v ≠ 0 の場合は

(1)　r(1-(u/k)) - av/(1+hu) = 0
(2)　-cv + au/(1+hu) = 0

これから v を消して u の式にすると

-(rh^2/k) u^3 + (rh^2 - 2rh/k)u^2 + (2rh - r/k - a^2/c) u + r = 0

。。。解けないわけではない。。。カナ？

お礼

夜遅くありがとうございます。ｖが消えてuだけの式ならなんとか解けそうです。（たぶん・・）さっそくやってみます！