逆関数の補間について

質問

こんにちは。前に質問させてもらい、計算については
理解できました。しかし、以下の文章のある部分の意味がわかりません。まず、文章は、
[Inverse Interpolation]
A process called inverse interpolation is often used to approximate an inverse function. Suppose that values {Yi}=f({Xi}) have been computed at X0,X1,...,Xn.
Using table
Y ; Y0 Y1 Y2 ......Yn
X ; X0 X1 X2 ......Xn
we form the interpolation polynomial

p(y)=Σ(i=1→n)CiΠ(j=0→i-1){Y－Yj}
The orijinal relationship, y=f(x), has an inverse, under certain conditions. This inverse is being approximated by x=p(y). Procedures Coef and Eval can be used to carry out the inverse interpolation by reversing the arguments x and y in the calling sequence for Coef.
Inverse interpolation can be used to find where a given functuin f has a root or zero. This means inverting the equation f(x)=0. We propose to do this by creating a table of values (f(Xi),Xi) and interpolating with a polynomial,p. Thus, p(Yi)=Xi. The points Xi should be chosen near the unknown root,r. The approximate root is then given by r ～p(0). For a concrete case, let the table of known values be

Y;-0.5789200,-0.3626370,-0.1849160,-0.0340642,0.0969858

X; 1.0 , 2.0 , 3.0 , 4.0 , 5.0
The nodes in this problem are the points in the row of the table headed y, and the function values being interpolated are in the x row. The resulting polynomial is

p(Y)=0.25Y^4＋1.2Y^3＋3.69Y^2＋7.39Y＋4.247470086

and p(0)=4.247470086. Only the last coefficient is shown with all the digits carried in the calculation, for it is the only one needed for the problem at hand.
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＜補足＞CoefとEvalについて

「 procedure; Coef(n,{Xi},{Yi},{Ai})
real array; {Xi}0:n, {Yi}0:n, {Ai}0:n
integer; i,j,n
for i=0 to n do
{Ai}←{Yi}
end for
for j=1 to n do
for i=n to j step -1 do
Ai←({Ai}－{Ai-1})/({Xi}－{Xi-j})
end for
end for
end procedure Coef 」

「 real function; Eval(n,{Xi},{Yi},{Ai})
real array; {Xi}0:n, {Ai}0:n
integer; i,n
real;t,temp
temp←An
for i=n-1 to 0 step -1 do
temp←(temp)(t-{Xi})＋{Ai}
end for
Eval←temp
end function Eval」
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です。この文章の
「The orijinal relationship, y=f(x), has an inverse, under certain conditions. This inverse is being approximated by x=p(y). Procedures Coef and Eval can be used to carry out the inverse interpolation by reversing the arguments x and y in the calling sequence for Coef.
Inverse interpolation can be used to find where a given functuin f has a root or zero. This means inverting the equation f(x)=0. We propose to do this by creating a table of values (f(Xi),Xi) and interpolating with a polynomial,p. Thus, p(Yi)=Xi. The points Xi should be chosen near the unknown root,r. The approximate root is then given by r ～p(0).」
という部分が理解できません。わかる方アドバイスお願いします（泣）

回答No.2

inara · ベストアンサー

以前の質問　「補間についての質問です（http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2969768.html）」　で和訳しましたが、ヒマなのでまたやってみます。

The orijinal relationship, y=f(x), has an inverse, under certain conditions. This inverse is being approximated by x=p(y). Procedures Coef and Eval can be used to carry out the inverse interpolation by reversing the arguments x and y in the calling sequence for Coef.

元の関数 y=f(x) は、ある条件下では逆関数を持ち、その逆関数は x=p(y) と近似できる。それにはプロセジャ Coef と Eval が使える。つまり、Coef を呼び出すときに、引数 x と y を入れ替えるわけである【訳注： xi と yi の組を与えて y = f(x) = Σa[k*x^k の係数a[k] が計算されるのなら、呼び出すときのx と y を入れ替えてやると、x = p(y) = Σb[k]*y^k の係数 b[k] が計算される。b[k] は逆関数 x = p(y) の係数である】。

Inverse interpolation can be used to find where a given functuin f has a root or zero. This means inverting the equation f(x)=0. We propose to do this by creating a table of values (f(Xi),Xi) and interpolating with a polynomial,p. Thus, p(Yi)=Xi. The points Xi should be chosen near the unknown root,r. The approximate root is then given by r ～p(0).

逆補間を使えば、ある関数 f の根、つまり f = 0 の解 がどこにあるか見つけることができる。すなわち、方程式 f(x)=0 の逆をやればいい【訳注：　y=f(x) の逆関数 x=p(y) を使えば、f(x)=0 の解は x = p(0)　】。そこで値の組 f(xi),xi の表を作り、これから多項式 p で補間する。すると p(yi)=xi が得られる。【訳注：　xi,f(xi) の組で表を作れば 多項式 f の係数が得られるが、引数の順番を逆にして、f(xi),xi とすれば、逆関数 p の係数が得られる】　xi の値は未知の解 r の近傍に取る必要がある【訳注：　解 r がxiの範囲に含まれている】。その結果、近似解は r ～p(0) で与えられる。

回答No.1

noname#101087

The original relationship, y=f(x), has an inverse, under certain conditions. This inverse is being approximated by x=p(y). Procedures Coef and Eval can be used to carry out the inverse interpolation by reversing the arguments x and y in the calling sequence for Coef.
Inverse interpolation can be used to find where a given functuin f has a root or zero. This means inverting the equation f(x)=0. We propose to do this by creating a table of values (f(Xi),Xi) and interpolating with a polynomial,p. Thus, p(Yi)=Xi. The points Xi should be chosen near the unknown root,r. The approximate root is then given by r ～p(0).

[意訳的和訳]
もとの(関数)関係 y=f(x) は、ある条件下で逆関数をもちます。この逆関数を x=p(y) (多項式)で近似することにします。
Coef の呼び出し系列(calling sequence)の変項 x と y を入れ替えれば、その逆補間(inverse interpolation)をCoef と Eval の手順を使って遂行できます。
逆補間は与えられた関数 f の根つまり零点がどこなのかを見つけるのに使えます。これは式 f(x)=0 の逆算に相当するものです。
多項式 p の値の表 (f(Xi),Xi) を作って実行してみましょう。それらの点 Xi は未知の根 r の近くを選ばねばなりません。
そうすれば、近似根が r ～p(0) << p(y)の y へ零を与えたときの x=r >> で与えられます。

.... てな調子ですかね。