微分においてsinと cosが互いに相手に変る理由

質問

表題どうりなのですが符号は別として微分（積分）においてsin とcosが互いに入れ替わる理由というか原因はどこにあるのでしょうか。又このことと e^xは微分（積分）しても自分にしかならないこととどこか似ているように思われるのですが、この空想には何か根拠があるでしょうか。

回答No.1

Damena · ベストアンサー

センスありますね。
実は、指数関数と三角関数は、本質的に同じものなのです。
オイラーの公式というもので結ばれます。
変数xを複素数にまで拡張すれば、三角関数の諸定理（たとえば加法定理など）は、指数法則と一対一対応しています。
このことは以下のURLに詳しくあります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

また、この性質をもう一度実数限定して、双曲線関数というものも導入できます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご教示ありがとうございました。

回答No.3

hugen

前半について

参考URL：

http://www.esst.kyushu-u.ac.jp/~ovd/column/masuda050531.pdf

お礼

ご教示をどうもありがとうございました。

回答No.2

info22

#1様が言われるようにオイラーの公式

e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)

でe^xと三角関数sin(x),cos(x)が結びつけられています。
iは虚数単位√(-1)です。

オイラーの公式から三角関数を求めると

sin(x)={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i)
cos(x)={e^(ix)+e^(-ix)}/2

この関係からsin(x)とcos(x)の微分がe^(ix)とe^(-ix)を微分することで
容易にそれぞれの微分が求められることが分かるとお思います。

{sin(x)}'=cos(x)
{cos(x)}'=-sin(x)

三角関数と指数関数の間には似通った性質があることに納得できるでしょう。

お礼

ご教示をありがとうございました。