絶対値とは・・？

質問

現在独学で基礎から数学を勉強している者です。その中に「絶対値」がでてくるのですが、その「絶対値」の意味を全く理解していません。どなたか、分かりやすく教えて頂けませんでしょうか？どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.8

sunasearch

|x+3|=2x

絶対値が2x、つまり距離が2xですから、No.5の方が言われているように、2x >= 0という、条件があります。

ですから、答えが、x=3,x=-1と出てきたとしたら、x >= 0 のものだけ使うことができ、x=3となります。

問題集では、絶対値の中味をxが-3以上と未満の場合とで、場合分けをして解いてあるのだと思いますが、
x<-3のとき、という条件で解いたのに、答えがx=-1となったから、答えとしては使えない、ということでしょう。

お礼

返事がおそくなりました。回答が何故か見れない状況にありました。
内容は今拝見させていただきました。本当にありがとうございます！！とてもわかりやすくて、理解できました！！

回答No.7

sanori

＃２の者です。

＞＞＞
複素数というのがまだ分かっていません・・・。例えばこんな問題が参考書にあります。
：次の方程式を解け。
（1）｜x-1｜＝3　
この場合、どっちの符号をどうすればいいんでしょうか？

２通りに場合分けします。

ア）ｘ－１≧０　つまり、ｘ≧１　のとき
｜ｘ－１｜　＝　ｘ－１
ｘ－１＝３
ｘ＝４
↑
ｘ≧１　と矛盾していないか？　→　矛盾していない。
だから、ｘ＝４は答え。

イ）ｘ－１＜０　つまり、ｘ＜１　のとき
ｘ－１は負の数なので、絶対値｜ｘ－１｜はｘ－１に－１をかけたもの
（マイナス×マイナス＝プラス）
｜ｘ－１｜＝－（ｘ－１）＝－ｘ＋１
－ｘ＋１＝３
ｘ＝－２
↑
ｘ＜１　と矛盾していないか？　→　矛盾していない。
だから、ｘ＝－２　も答え。

答え　ｘ＝４　または　ｘ＝－２

あらかじめ　ｙ＝ｘ－１　とおけば、もっと簡単。
｜ｙ｜＝３
ｙ＝±３
ということは、
±３＝ｘ－１
ということは、
３＝ｘ－１　または　－３＝ｘ－１

お礼

返事おそくなりました。早速の回答ありがとうございます！！とても勉強になりました。

回答No.6

sunasearch

次の方程式を解け。
（1）｜x-1｜＝3

絶対値が３、つまり、原点０からの距離が３となる点は、
数直線上には、ー３と＋３の２つあります。

ですから、x-1 = 3 と x-1 = -3 を解けば良いことになります。

お礼

今分かりました！ありがとうございます！！！すごく分かりやすかったです！
・・・それでなんですが・・・
|x+3|=2x
という問題をした時に、答えがx=3, x=-1という風になったんですが、問題集の答えを見るとx=3のみになってます。（x<-3を満たさないため、と書いてありますが、わかりません。）
質問攻めになりますが、よろしければ教えていただけますでしょうか。

回答No.5

kakkysan

NO1の方の説明は「結果としての絶対値です」
こちらを見てください
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%B6%E5%AF%BE%E5%80%A4
「その数が 0 からどれだけ離れているかを表す」が定義でしょう
実数の絶対値の場合は、数直線上で「原点からの距離」。
複素数の絶対値は複素数平面上で「原点からの距離」。
絶対値は「距離」だとすることが出来ますから、必ず「０以上」。
この定義から後、いろいろな性質（諸公式）が出てきますが、公式の意味を考えながら使い込み、慣れてください。
頑張ってください。

御参考まで

お礼

wiki見ました！ありがとうございます！！

回答No.4

sunasearch

数直線上の原点０（基準となる点）からの「距離」です。

＋８は原点０から、８の距離にあります。
－７は原点０から、７の距離にあります。

基準があるものを評価するときには、「絶対」という言葉を使います。
逆に、基準がないものを評価するときには、何かに比べて良い、という「相対」的な評価をします。

お礼

よくわかりました！ありがとうございます。
・・ですが、いざ問題をみると、例えば、

：次の方程式を解け。
（1）｜x-1｜＝3　
みたいな時に理解できません。

回答No.3

kabaokaba

高校の範囲でも，中学の範囲でも
「単純に符号を取った数」
という風にだけ理解していると，必ずはまります．
例えば y=|x| のグラフを書け
なんて問題には対応できないです．

正確には

|a| = a (a >= 0)
= -a (a < 0)

と定義されます．
aが0以上のときは何も変えずにそのまま
aが0未満のときは，マイナスをかけることで「正」にします．
ぶっちゃけてしまえば，この操作は「符号を取り払う」ことに
違いありませんが，きちんと式として理解しておくことが必須です．
＃a=0 のときは習慣的に a>=0 としてこの場合に含めますが
＃別に a<=0 として，下の場合に含めても構いません．
＃どっちでもいいのですが，
＃簡単のため a>=0 とすることが多いだけです

こうすることで，
「「a^2」のルート」は |a| と表現できることがわかります．
決して，「「a^2」のルート」は a ではありません．
＃(-2)^2 のルートは 2 であって，-2 ではないということです．

絶対値は幾何的には，「原点からの距離」を意味します．
普通の数の場合は，数直線を考えて，
0からの距離です．

大学でなくても高校ですでに複素数の絶対値は習うと思いますが，
複素数の絶対値はこの「原点からの距離」という点をそのまま
用いて定義されます．
すなわち，複素数 a+bi を点 (a,b) と同一視し，
原点からの距離 「a^2+b^2」のルートを　|a+bi| とします．

絶対値は複数の視点で理解することが必要です．
・単純に符号をとったもの
・a>=0かa<0で場合わけをした定義
・幾何的に「距離」と解釈したもの
これらはすべて数学的には等価ですが，
考えるものに応じて，考えやすいものを使うわけです．

お礼

ご回答どうもありがとうございます。まだ勉強中です、がんばります！

回答No.2

sanori

＃１さんのおっしゃる通りです。（高校数学までは）
一度覚えてしまえば絶対に間違いようがないぐらい、あまりにも簡単なことなので、
うちの子供が通っている中学校の数学の先生が授業で、
「絶対値の問題、間違えたら、死刑だぞー」
と言って、生徒たちを笑わせていたそうです。
うまい教え方ですね。

大学になると、複素数の絶対値を扱うようになります。
複素数　ｘ＋ｉｙ　（ｉは虚数単位＝√(－１））の絶対値は
√（ｘ^2 ＋ ｙ^2）
です。

お礼

早速の回答ありがとうございます！
複素数というのがまだ分かっていません・・・。例えばこんな問題が参考書にあります。
：次の方程式を解け。
（1）｜x-1｜＝3　

この場合、どっちの符号をどうすればいいんでしょうか？

回答No.1

rinngo-jam

絶対値とはその数の符号（＋や－）を取ったもののことです。
例えば、「－３の絶対値」と言われたら「３」のことです。
また、「５の絶対値」だったら、そのままで「５」になります。

うまく説明できなくてすみません。。。
勉強頑張ってください！

お礼

わかりやすかったです！ありがとうございます！！