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0.9999…=1がわからない
0.999... - Wikipedia http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... を見たのですが理解できません。 イコールは同一って記号って習ったので 0.9999...と続いても最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。 わかりやすい説明があればよろしくお願いします。
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Ｑ１： １＝０．９９９９… か？ Ａ１： 「前提条件」によって「１＝０．９９９９…」となったり「１≠０．９９９９…」になったりする。 しかし、通常はそのような前提条件を採用することのメリットや、過去の経緯を考えると 「１＝０．９９９９…」であるとした方が妥当である。 Ｑ２：「１＝０．９９９９…」は証明可能なのではないか。 Ａ２：Ａ１の前提条件を認めれば可能である。しかし、認めない人にとってはその証明は 無意味である。 Ｑ３：１と０．９９９９…は形が全く違う。同じ数だと言うのは納得できない。 Ａ３：分数の２／２と３／３も違う形だが、全く同じ数である。 Ｑ４：Ａ１で、数学で正反対の結果を容認するのは納得できない。論理は絶対なのではないか？ Ａ４：自然数が入っている論理がもし正しいなら、その正しさはその論理内で証明できない。 したがって、「１＝０．９９９９…」が結論となる論理も「１≠０．９９９９…」が結論になる論理も 矛盾がない限り、その正しさはその論理内で証明できない。 Ｑ５： Ａ１の「前提条件」とは何か？ Ａ５： 通常は実数の範囲で考え、「実数の連続性」や「０．９９９９…が 無限級数の極限値である」ことなどを前提にする。しかし、説明は複 雑になるが、有理数の範囲で考えることも可能である。 Ｑ６： 「１＝０．９９９９…」の証明には幾つかの初等的手法があるが、これらは無意味なのか？ Ａ６： 前提条件を認めて、無限小数の演算を矛盾無く定義するなら、それらの初等的証明は 確かに証明になっている。前提条件を認めた段階でのより単純な証明は存在するが 初等的証明には「分かりやすい」という利点がある。
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- jmh
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0.0000000…1 って、どういう意味ですか？
- Musicful-hearts
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ならないと思うならならないでいいんじゃないですか？ それがあなたの意見ということで、 世間にもならないといい続けてる人もいるわけですし。
- zk43
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この質問は定期的に出てきますね。 NO3の方のところにも、過去の回答がいろいろあります。 0.999…というのは極限値という意味で、その極限値が1だという ことです。 9を増やしていくと小さい方から1に近づきます。 その極限値が1になるということは、1よりも小さいところの「どんな」 区間(1-x,1)を設定しても9を増やせば必ずこの区間に入ってしまう ということです。 たとえば、0.999と止めてしまうと、1より小さいところの「ある」区間 (1-0.00001,1)の中に入ることはできません。 これはどこの有限桁のところで止めても、このようなことが起こりま す。 しかし、9を無限に続ける場合には、1よりも小さいところのどんな 区間にも入っていくことができます。したがって、1に一致することは ありませんが、極限値としては１なのです。 （ちょっと感覚的ですが） 高校でlim(n→∞)のような記号を習ったと思いますが、0.(9)nで 9がn個あるという意味とすると、 0.999…＝lim(n→∞)0.(9)n＝1 ということです。 また、0.000…1は「…」が無限にあるという意味かと思いますが、 これも極限値の考え方からすれば、極限値は0です。 この場合は、大きい方から0に近づきますが、0よりも大きいどんな 小さな区間(0,x)にも入っていくことができるからです。 これもlim(n→∞)を使って書けば、 0.000…1＝lim(n→∞)(1/10)^n＝0 ということです。 1/3=0.333…にしても0.333…は極限値という意味で、その極限値が 1/3だということです。 これ以外にも、0.5=0.4999…などとも表わすことができます。 同様に右辺は極限値という意味です。
- tuort_sig
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X=0.9999…(1) 10X=9.9999…(2) (2)－(1)を計算すると 9X=9 ゆえにX=1 (1)より 0.999…=1 この一聯の流れを否定することができますでしょうか？ よく見てください。どこにも不備はないはずです。 恐らく１、２行目の特に”…”の部分なんかに疑問を持たれるのかもしれませんが、X自体は確実に定数なので10倍した10Xは、丁度Xの10倍なんです。小数点以下がゴッソリ相殺される感覚に慣れてください。 それでも、どこか疑問でしょうか？
- yaoroku
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簡単な説明でしたら １／３＝０．３３３３～ ０．３３３３～＊３＝０．９９９９～ でも１／３＊３＝１ よって、０．９９９９～＝１ なのではないでしょうか
初項を０．９、公比を０．１とする無限級数を計算すれば１になります。
0.9999…の9が人知を超えて無限に続いていくってことです。 でも0.0000000…1は有限の数ですから、足してしまうと1.0000…000999…となってしまうわけですよね。 だから0.9999…に足して1になる数があるとしたら0.000…と0が無限に続く数ですね。 0が無限に続く数って、要するに0でしょう？ 0を足して1になるのは1ですよね。 つまり、0.9999…=1です。 こんな感じで自分なりに納得してしまうのがいいと思いますよ。 ホントの証明をしようとするとたぶん気が遠くなります。 というか私には理解不能でした。 まぁやるんでしたら、Wikipediaぐらいは理解しないと無理でしょう。
- Ichitsubo
- ベストアンサー率35% (479/1351)
>最後に0.0000000…1を足さないと1にならないと思うんです。 これが誤りの根本です。 0.9999...と「無限に続く」数です。 最後が0.000...1と有限な数をたして1になりますか？ ）0.9999...99999....99999... ＋0.0000...1 を考えると分かると思います。 別の説明をすると 1-0.9999...の計算をしてみてください。是非とも筆算で。 答えの最後に1が出てきそうですか？ 永遠に0が続くでしょうね。 よって1-0.999...＝0 より1＝0.999....です。 そう、1と0.999....は寸分違わず全く同一の数なのです。 それでも、1-0.999...で最後に1が出ると思ってしまいますか？それは0.999...の9をどこかで打ち切ってしまうからです。勝手に打ち切ってはいけません。「永遠に9が続く」のですから。
- marori3
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0.9999…は下の桁に9が増えるごとに1に対して近付く、 そして9が無限にあるということは1に対して無限に近付く、 無限に近付くということは逆を言えば1と0.9999…との差は0 つまり1。 という認識でいいんじゃないかな。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
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