換算質量について

質問

2分子(A,B)で、重心座標X、相対座標xを以下のように書いて
X=(mAxA+mBxB)/(mA+mB)
x=xA-xB
として相対座標の運動エネルギーを求める時に換算質量μを使って、
1/2*μ(x´)^2
と書きますが、換算質量はどのように導けばよろしいのでしょうか？

基本的な質問かも知れませんが、だいぶ前に力学を勉強してかなり忘れてしまったため、解けませんでした。

よろしくお願いします。

回答No.3

ht1914 · ベストアンサー

＃１、＃２でサイトや本が紹介されています。それを見てもらうとわかると思いますので蛇足かもしれません。

一度勉強したはずなのに時間が経つと分からなくなるという理由を考えてみました。一応の変形をやってみても立ち往生してしまうのです。

（１）重心座標と相対座標を使って表現を書き換えるというのはよくやられることです。一般的に可能です。
（２）換算質量で書き換えが出来るというのは２体の場合の特別なことです。
（１）（２）はどうして食い違っているのでしょうか。
使われている「相対座標」の意味が違います。同じ言葉を使っているので混乱します。
（１）では重心に対する相対座標です。
（２）では２体の片方に対する他方の相対座標です。
２つの相対座標は異なるものです。普通にやればまず（１）が出てきます。それを改めて（２）に書き直さなければいけないのです。それが分からないと式の変形が立ち往生します。

途中までやってみます。ＡＢを使っておられますのでそのまま使います。
運動エネルギー　　（１／２）ｍＡＶＡ＾２＋（１／２）ｍＢＶＢ＾２
重心速度　Ｖ＝（ｍＡＶＡ＋ｍＢＶＢ）／（ｍＡ＋ｍＢ）
重心に対する相対速度　ｖＡ＝ＶＡ－Ｖ、ｖＢ＝ＶＢ－Ｖ

ｍＡｖＡ＋ｍＢｖＢ＝０　が成り立っています。

これで運動エネルギーを書き換えますとｖＡ，ｖＢ，Ｖの式になります。これを（式１）とします。でもこれでは換算質量は出てきません。私は何度もここで立ち往生しました。

ここで改めて一度消したはずのＶＡ，ＶＢに戻ることになります。

ｖＡ＝ｍＢ（ＶＡ－ＶＢ）／（ｍＡ＋ｍＢ）
ｖＢ＝ｍＡ（ＶＢ－ＶＡ）／（ｍＡ＋ｍＢ）

これで（２）の意味での相対座標が出てきました。
ｍＡｖＡ＋ｍＢｖＢ＝０
が成り立つことをここから導くことも出来ます。
ｖ＝ＶＡ－ＶＢとしますと
ｍＡｖＡ＝ｍＡｍＢｖ／（ｍＡ＋ｍＢ）
ｍＢｖＢ＝－ｍＡｍＢｖ／（ｍＡ＋ｍＢ）
となって換算質量が出てきます。
（式１）にここのｖＡ，ｖＢを代入して整理すると求める式が出てきます。
運動エネルギーは　
（１）の場合
　　　（重心の運動エネルギー）＋（重心に対する相対座標で考えたＡの運動エネルギー）＋（重心に対する相対座標で考えたＢの運動エネルギー）
（２）の場合
（重心の運動エネルギー）＋（ＡのＢに対する相対座標とＡＢの換算質量で考えた運動エネルギー）

ＡＢＣと３つになっても（１）は書くことが出来ます。
ここから（２）に変形してもＶＡ－ＶＢ，ＶＢ－ＶＣ，ＶＣ－ＶＡの２つの相対速度が出てきますから簡単な形にはならないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
勘違いしやすいところを指摘しただき、非常にわかりやすかったです。
私も同じところで立ち往生していたようです…
ありがとうございました。

回答No.2

991108

なつかしいですね。
岩波書店「解析力学」小出昭一朗
のp12-p13に例題１と問題１があります。
回答もあるので参考にしてみてはいかがで
しょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
紹介していただいた本が、手元にないので調べられませんでした…(図書館でも貸出中…)。
今度、見てみます。

補足

友達が持っていたので見せてもらいました。
解答は結構不親切ではありますが、導き方はわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

KENZOU

>だいぶ前に力学を勉強してかなり忘れてしまったため、解けませんでした。

参考URLに質点系の力学のレビューが載っています。換算質量はP16に載っていますのでご参照されてはいかがでしょうか。

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/SittenGoutai.pdf

参考URL：

http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/SittenGoutai.pdf

お礼

参考URLありがとうございます。KENZOUさん自身が書いているんですね。素晴らしいです。P7に載っていました。
ただ、力まで考えないと換算質量は出てこないのでしょうか？
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa572926.html
でのKENZOUさんの回答を見たのですが、力(加速度)まで考慮することで出てきている気がします。

補足

加速度から導くという方法が最も簡単そうですね。
ただ今回は速度の側面から導きたかったのでポイントをあげれませんでした。質問でもっと詳細に書くべきでした。すみません。
参考URLは非常にわかりやすいので、今後の勉強に活用させていただきます。ありがとうございました。