間接証明法について

質問

間接証明法という言葉を昔、聞いたことがあるのですが、思い出せません。いったいこれは、どんな証明法なのですか？いくつかあったと思うのですが・・・。

回答No.2

aster · ベストアンサー

少し難しい話になりますが、普通の証明、つまり、直接証明は、「Ａが正しい時、Ｂが正しいことを証明せよ」という問題の場合、Ａが正しいとすると、出てくる色々な関係を元に、Ｂが正しいということを直接に導き出します。

他方、「間接証明」は、「背理法」とも言いますが、上の問題の時、「Ｂが正しくないとすると、Ａが正しい場合、矛盾が出てくることが証明される」ということで、こういう場合、実は、Ｂは正しいのであり、Ｂが正しいという証明が行われるのです。

例えば、２の倍数は偶数だというのは、「直接証明」だと、実際２の倍数を造ると、ｎを整数とすると、２ｎの形をしています。この２ｎは、必ず２で割り切れるので、偶数です。

他方、「間接証明・背理法」だと、２の倍数が偶数でない、つまり奇数だとしてみると、奇数は、偶数＋１で、これは２で割ると、あまりが１出てきます。というか、奇数の定義が、２で割ってあまり１が出る整数なのです。それ故、２の倍数であるということと矛盾します。

従って、２の倍数が奇数だとした考えが間違いで、２の倍数は偶数であったという証明です。直接に証明するのでなく、まず違っていると仮定すると、おかしなこと（矛盾）が生じるので、違っていると考えたことが間違いで、実は、違っていないのだ、という証明です。

これは、前提になるＡ自体が間違いであると、直接証明でＢが正しいと証明しても、背理法でＢが正しいと証明しても、どちらも当てになりません。証明にならないのです。

だから、実はＡは正しいと決まっているのが普通です。もっと難しい問題の時は、Ａが正しいかどうかから証明しなければならないのですが、高校程度で出てくる証明問題では、Ａは普通正しいです。（また、Ａは何かが、普通隠れています。表には出てこないのです。「自明のこと」とされている場合が多いです）。

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Ａが正しい時、Ｂが正しいかどうかというのは、少し難しい話ですが、Ａというのは、分解すると、「正しい命題」の集まり、つまり、定理が集まってできていると考えられるのです。

Ｂも、分解すると、実は、「基本になる命題」の集まりで、できています。

Ａが正しい時，Ｂが正しいという直接証明ができる場合は、実は、Ｂを分解してできる「基本になる命題」が、Ａから導かれるということで、Ｂの「基本になる命題」は、Ａに含まれる定理の集合の一部だと考えられるのです。

Ｂが定理から成り立っていれば、Ｂは正しいということになります。これが直接証明です。

仮に、Ｂが間違っているとすると、Ｂの「基本になる命題」のなかの一つか二つか、あるいは極端には全体が、間違っていることになるのですが、Ｂのなかの命題は、実はＡの定理なので、それが間違っているとすると、かならず「矛盾」が出てくるのです。

そこで、Ｂは正しかったという証明ができるのです。

Ａが正しい場合で、Ｂが元々正しくない場合は、直接証明でも、間接証明でも、Ｂが正しくないという証明が出てきます。またＡが正しくない場合は、Ａからは、Ｂが正しいか間違っているのか、分からないといういうことになります。この説明は複雑になるので省きます。

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たとえ話として、四角形を考えてください。これがＡとします。Ａが正しい時、Ｂが正しいというのは、仮にＢを円形だとすると、直接証明では、Ａの四角形のなかに、Ｂの円が、そのまま入っているということなのです。それを証明するのです。

間接証明は、Ｂが正しくないとすると、Ｂの円の一部か、全体が、Ａの四角形から、はみ出してしまうのです。この「はみだした部分」が、「矛盾」になるので、実は、Ａの四角形のなかにＢの円は入っていたのだという証明です。

回答No.1

shin189

別名「背理法」と言います。下記URL参照願います。

参考URL：

http://www.meix-net.or.jp/~aotsuka/DIC/hairihou/d.html