観測開始N日後に初めて起こった事象の、起こる確率の推定値

質問

ある事象が、観測開始から50日後に初めて起こったとします。
その時点で、その事象が（ある日に）起こる確率をそのことだけから導くとすると、何％と推定するのが妥当なのでしょうか。１％とも２％とも思えますし、その間のどこかに正解があるような気もします。
難しい統計学の知識が必要な気もします。

回答No.1

age_momo · ベストアンサー

まず、最初に断っておきますが、確率の問題ですので答えも確率でしか出てきません。
つまり、

＞１％とも２％とも思えますし、その間のどこかに正解があるような気もします。

これは全く正しく、どれである可能性も強いのです。逆に正解と言うものは無いとも言えます。
間違いなく言えるのは0でも1でもないと言うことだけです。
まず、発生する確率をxとすると50日目で初めてある事象が起こるのは

P(x)=x(1-x)^49

です。微分すると
P'(x)=(1-x)^49-49x(1-x)^48=(1-x)^48*(1-50x)
x=1/50
で極大値を持つことが分かります。単純に50日で1回起こったから2%という可能性が一番強いという
ことです。ただし、

P(0.02)=0.007432034
P(0.01)=0.006111172
P(0.03)=0.00674429

2%で一番、こういう事態になる確率が高いのは確かですが、1%でも3%でも大して変わりません。
次に50日にはじめて起こったということを前提にして確率の確率密度を出すとP(x)を[0,1]で積分して

∫[0,1]P(x)dx=1/2550

累積確率密度は

Q(x)=2550∫P(x)dx=-(1+50x)(1-x)^50+C
Q(0)=0 　より
Q(x)=1-(1+50x)(1-x)^50

これを元に下2.5%と上2.5%の範囲を出すと
Q(0.004784993)=0.025
Q(0.104474896396)=0.975
つまり、0.5%以下、もしくは10%以上とは考えにくいという結論になります。
ま、50日で初めて起こったという情報だけではこの程度にしか数字を絞ることは出来ないと言うことです。

お礼

ありがとうございました。期待通りの内容です。