トイレットペーパーの芯にかかる圧力は？

質問

巻き上げ装置の巻きコアーの材料を開発している化学系の者です。
物理的な計算をする必要があり、このカテに投稿しました。

イメージしやすいように日用品で例えると、芯付きトイレットペーパーの芯にかかる圧力はいくらかというのが質問です。下に一般化して書きます。

円筒：半径ｒ
帯：密度がｄ、ヤング率がｙ、厚みがｃ、幅がｗ、長さはｎ回巻き付けるのに十分な長さがある
を準備し、
帯の端を円筒に固定してから、帯を張力Ｔで引っ張りながら円筒にｎ回巻き付ける。
出来上がった帯巻きの円筒表面にかかる圧力ｐは、r,d,y,t,w,nを使ってどのように表されるのでしょうか？

考え方と、できたら式の導出について教えて下さい。

回答No.2

unoki · ベストアンサー

unokiです。
nc＜＜ｒの場合の近似式ですから、そうでない場合（500回巻いたトイレットペーパなど、nc＞＞ｒの場合）はp1＋p2＋・・・＋pnを計算すれば実感と合うのではないでしょうか？　ｎに応じて分母が小さくなり、p1＞p2＞・・・＞pnですから。

お礼

理解しました。ありがとうございました。

回答No.3

am3141592

材料が剛体か摩擦が無い場合、unokiさんのようになると思いますが、実際は変形により、内側の張力が解放され、圧力が頭打ちになってしまうのではないかと思われます。材料の弾性率やコアの厚みを考慮すれば計算できないことはないかもしれませんが、実測する方法を考えたが確実かもしれません。

お礼

ありがとうございます。実測はしますが、一般化するために式で検討してみたかったため質問しました。

回答No.1

unoki

ｎ巻きした円筒を直径部分で２分割して力の釣り合いを考えると、
１巻き目の張力による圧力p1＝Ｔ／（ｒ ｗ）
２層き目の張力による圧力p2＝Ｔ／（（ｒ＋ｃ）ｗ）
３層き目の張力による圧力p3＝Ｔ／（（ｒ＋２ｃ）ｗ）
・・・
ｎ層き目の張力による圧力pn＝Ｔ／（（ｒ＋（ｎ－１）ｃ）ｗ）

合計圧力ｐ＝p1＋p2＋・・・＋pn≒ｎＴ／ｒ ｗ

お礼

早速の回答ありがとうございます。

テンション＊巻き回数の部分が実感とあいません。
例えばトイレットペーパーの場合、約500回巻きほどになっています。
ほんのわずかなテンションで巻いても、巻き芯はかなりの圧力という結果になります。紙芯がつぶれてしまいそうな。