三角関数の問題

質問

方程式を解けという問題で
2sin^2θ>sinθ+1
という問題がありました。
これを簡単にして
(sinθ-1)(2sinθ+1)>0
sinθ-1<0であるから
2sinθ+1<0
sinθ<-1/2
7π/6<θ<11π/6
と出したらあっていました。
しかし他の問題で
2cos^2θ≦sinθ+1
という問題があり、これを整理して
(sinθ+1)(2sinθ-1)≧０
sin+1≧0だから
2sinθ-1≧0
sinθ≧1/2
π/6<θ<π5/6
と出しました。
しかし答えにはこれに加えてθ=-3π/2もありました。
おそらくsin+1≧0を計算したものなのでしょうが、なぜ上の問題はsinθ-1<0を計算しないでよくて、下の問題は計算しなければならないのでしょうか？

回答No.3

endlessriver

１．始めの問題は答えは合っていますが推論過程に抜け（わずかな誤り）があります。
「sinθ-1<0であるから．．」は前の方の言うとおり、誤りで、sinθ-1≦0となります。したがってsinθ-1=0を除かないと命題は満たせません。ただ、今回はこの解がθ=π/2で結論の範囲に入っていないため自動的に除去されたのです。
２．すると次の問題も同様に「sinθ+1≧0だから．．」のうちsinθ+1>0は検討しなくても良いのですがsinθ+1=0を満たすθを追加しないといけないのです。

回答No.2

larme001

すみません、少し間違いがありました。
≧の場合
i)sinsθ－１≧０　かつ2sinθ+1≧０
としてしまうと、「かつ」でおかしいので、実際は
AxB=0のとき、A=０またはB＝0 なので、＝の場合は別々に計算すべきでした。
わかりにくかったら、もっと分かりやすく別の方に説明してもらってください。失礼いたします。

回答No.1

larme001

一言で言えば、上の奴は=0の場合（つまりsinθ＝０）は成立しませんが、下の奴は成立します。

上の問題もなんとなく不等号の変形があやふやなきがしますので、確認しておくと、たとえば
(sinθ-1)(2sinθ+1)>0.....(a)
sinθ-1<0であるから
という部分は(a)について
i)sinθ-1＞０ かつ　2sinθ+1＞0 または
ii)sinθ-1<０ かつ　2sinθ+1<0
ということと同じという変形をまず考えてください。いきなりsinθ-1<0であるというのはsinθ＝１の場合が成立しないという理由にかんして少し説明不足なきがします。「sinθ-1<0であるから」という論理が、sinの性質からきたのか？不等号を同値変化させているのかが分かりにくいのです。
ここで-1≦sin≦1なので、＞の場合はiを満たす解がないので、iiの場合だけでいいのですが、iを満たす解が存在しないということをキチンと述べましょう。

ここで、不等号がはいる場合。
(sinθ-1)(2sinθ+1）≧0.....(a)
つまり、１）sinsθ－１≧０　かつ2sinθ+1≧０
または２)sinsθ－１＜０　かつ2sinθ+1＜０（厳密には＝をどちら似いれてもいい。）
ですので、このように同値変化した場合は1のsinθ＝１を満たす場合に解が存在するのかも調べなければいけません。