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円に内接する三角形について
なぜ、三角形の斜辺が円の中心を通る時，直角三角形になるのでしょうか？ また、よく『任意の～』と数学ではあるのですが、数学ではどういった意味をもつのでしょうか？ 低レベルな質問で申し訳ないのですが、 文系なもので、なるべく簡単な言葉でご回答お願いいたします。
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半径Ｒ、中心Ｏの円に、三角形ＡＢＣが内接するとする。ＡＢがＯを通るとき、ＡＯ＝ＣＯ＝Ｒより、△ＯＡＣは二等辺三角形であるから、 ∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ・・・(1) 同様に、ＢＯ＝ＣＯ＝Ｒより、△ＯＢＣはも等辺三角形であるから、 ∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ・・・(2) 今、(1)(2)の角の大きさをそれぞれ、a°,b°と表すと、△ＡＢＣの内角の和が１８０°であることから、 2a+2b=180 が成り立つ。すなわち、 a+b=90 である。∠ＡＣＢ＝∠ＯＣＡ＋∠ＯＣＢなので、その大きさは、(a+b)°であるから、∠ＡＣＢは直角ということになる。 任意のというのは、文字通り、意に任せるということから、何でも好きに選んでよいということ。上の問題で、任意の正の実数a,bについて、a+b=90という条件があれば、∠ＡＣＢは直角となる。このとき、 (a,b)=(10,80),(20,70),(30,60)… など、好きな組み合わせを選んでよい。
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- ht1914
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これまでの解答は正面から円の性質を使っておられます。多分質問されている方は三角形に円が絡んでしまって分からなくなってしまったのではないでしょうか。 証明と言うことからすると違うと言われるかもしれませんが三角形から説明してみます。 直角三角形ＡＢＣを書きます。斜辺の中点を取ってＰとします。 ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ であればＰを中心にした円周上にＡＢＣが来ることになります。 ＰＡ＝ＰＣはＰが中点ということから明かです。従って△ＰＡＢまたは△ＰＡＣが二等辺三角形であることをを証明すればいいことになります。やってみて下さい。
お礼
ありがとうございます。 色々な角度から考えることができました。
- Musicful-hearts
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円に内接する三角形の斜辺が中心を通るとき、 その斜辺は必ず円の直径になります。 直径に対する円周角は必ず90度になるので、 そのことがいえると思います。 直径に対する円周角が90度になるのは 直角部から中心に線を引き 二等辺三角形を２つつくることにより証明できます。 任意の～は、すべての～という意味です。
お礼
ありがとうございます。
みなさん解説してるとおりです。 円に内接している三角形であり （３点が円周上にありと言いかえてもいい）、かつ 斜辺が円の中心をとおる、、、 という条件をとると、 その斜辺は円の直径そのものですな。 あとは皆さんの解説の通り。 そんでもってさらにおまけすると 斜辺にない三角形の頂点を 円内に移動すれば鈍角三角形（その角は直角より大きい） 円外に移動すれば鋭角三角形（その角は直角より小さい） になります。 さらにおまけ、 平面上の２点に釘を刺し、三角定規の直角をつっこませ グリグリっとまわして画く点は円周（半円）になります。
お礼
ありがとうございます。
- adinat
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円周角と中心角の関係ってご存知ですか？リンク先を参考にしてみてください。要するに三角形の一辺（斜辺がと書いてしまうとそれは既に直角三角形であることを意味するので、「直角三角形の斜辺がその直角三角形の外接円の中心を通るのはなぜですか？」とするか、あるいは「三角形の一辺がその三角形の外接円の中心を通るとき、その辺を斜辺とする直角三角形になるのはなぜですか？」と質問すべきです。細かいことですが、こういうところをしっかり意識すると数学の学力が伸びると思いますよ）が外接円の中心を通ることから、中心角が180度になっていて、従ってその辺の向かいの角がその半分の90度になるという理屈です。 http://www.ies.co.jp/LoveMath/center/enshup/enshup.html 「任意の」は「すべての」と同義です。「x^2-1=(x-1)(x+1)は任意のxで成り立つ」という感じです。
お礼
ご教授ありがとうございます。 円周角と中心角の関係は知りませんでした。 ちなみに∠ＡＯＢが中心角で ∠ＡＰＢが円周角なのでしょうか？ あと、斜辺と呼ぶのは、直角三角形のみなのですか？
お礼
とてもわかりやすかったです。 ありがとうございます。