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背理法の問題の解説で不明な点があります。
今青チャートで数学IAを勉強しています。 下記の問題の解説がよくわかりません。 180度回転移動させたらＰ＝Ｐ’でありＰとＰ’を通る直線なんてないんじゃないか？と思ったのですが…。 ■問題 ２点を通る直線は１本だけである。このことを用いて次のことを証明せよ。 「２直線l,mが他の直線nと交わってできる錯覚が等しい時、lとmは平行である。」 ■解説 ２直線l,mが他の直線nと交わってできる錯覚が等しい時、lとmは平行でないと仮定し、lとmの交点をＰとする。 l,mとnとの交点をそれぞれＡ,Ｂとし図を180度回転移動し、ＡがＢに、ＢがＡに重なるようにする。このときl,mはそれぞれm,lと一致する。 また点Ｐが点Ｐ’に移動したとすると2点Ｐ,Ｐ'を通る直線がl,mの2本存在することになり、2点を通る直線は1本であることに矛盾する。 したがって与えられた命題は成り立つ。
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背理法が目的の問題なら．本質があさってにいってるし 図形の性質の証明が目的なら こんな問題を出す意味がない ＃そもそも第五公準に関するこの手の問題は ＃教育的ではない。。初学者には混乱を招くだけだわ 閑話休題． 「説明」の中に「錯角が等しい」という条件が 明示的に出てきてないのと 「回転」の中心が明示されてない（実際は どこでもいいんだけども）のが分かりにくいですね A,Bの中点を回転の中心（Oとします）だと 思ってください そこを中心に180度回転すすると AはBに，BはAにうつりますね また，直線ABはOを中心に180度まわしても 形は変わりません． ということで「錯角」が「錯角」に移ります ここでもともとの錯角の大きさが同じだという 仮定で，結局 直線ABと錯角分の角度をなしてた直線lと直線mは それぞれmとlに移りあいます． ＃AはBに，BはAにうつっていて更に ＃ABとなす角度が同じだから移りあいます そうなると。。。lとmの交点Pは 反対側にうつります． ＃ここがややこしいのですが， ＃回転する前のlとmにPの方向への矢印をつけて ＃考えるとよいと思います ＃180度の回転の後，矢印向きが逆さになった ＃図形になって，その矢印の方向にPの移り先P'が ＃あるわけです こうなると，直線PP'がでてきますが， lとmはPとP'を通ることになります． これは矛盾です． ＃「原論」的には「回転移動」を ＃この段階でつかっていいのだろうかという ＃疑問もあるけど・・・ ＃手元に「原論」がないので分からない
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- N64
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>それが矛盾してるから最初の仮定が間違ってる、 ご明察のとおりだと思います。すでに、二つの直線の交点は一つしかない、と言う公理に矛盾しているのですから、２点を通る直線は１本だけである、ということを利用するまでもないとも言えると思います。 また、錯角が等しいとき、交点をPとすると、と簡単に図示までしてありましたが、点Ｐがこんなところに図示されているのも、おかしいと思います。三角形ＡＢＣの∠Ａ＋∠Ｂ＝１８０度ですから、∠Ｐ＝０となり、点Ｐは、もしあるとしても、無限に遠い場所になるはずです。無限に遠いから、左右両側に交点があるということになるのですが、これはもう、ユークリッド幾何学の範囲を逸脱しています。もし、点Ｐが図に描けるような場所にあるなら、その反対側に点Ｐ’があるはずはありません。ですから、他の方がお答えになっているように、この問題そのものが教育的ではない、と言うのもそのとおりだと思いました。
- ht1914
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＃４です。 ＃７の方がていねいな説明を試みておられます。でも多分まだ質問された方は納得が行ってないだろうと思います。私も元々の説明（証明ではなくて単なる説明）を読んだときに引っかかりました。 質問された方もチャートの解説文の中の ＞l,mとnとの交点をそれぞれＡ,Ｂとし図を180度回転移動し、ＡがＢに、ＢがＡに重なるようにする。このときl,mはそれぞれm,lと一致する。 という部分は納得されていると思います。問題はこの後なんです。 ＞また点Ｐが点Ｐ’に移動したとすると ・・・？・・・ ＞2点Ｐ,Ｐ'を通る直線がl,mの2本存在することになり、 右側で交点Pで交わっていたものを回転して左側に持ってきてP'とする。これだけでは単に回転で移っただけですから質問されているようにP=P'だというだけです。２つの引用の間の「？」と書いた部分が飛んでいると思います。数学に慣れている人はここは説明がいらない自明の部分と思っておられるかも知れません。 ＃７の方は ＞＃ここがややこしいのですが， と書いておられます。ここが難しいのです。 Pで交わっているはじめの右向きの図とP'で交わっている左向きの図と２つの図があります。この２つが結局同じ図になってしまうというところにポイントがあります。簡単に書かれるとペテンに引っかかったような印象しか受けません。参考URLでもチャートでもこの部分の説明はありません。２つの図を作っただけです。 ＃１の方が ＞1点で交わるというのですが、実際は、最初から２点で交わっている。なんじゃやこれ、話が違うではないか、ですね。 と書いておられるところです。 ここからは私の推測です。 物理であれば空間の対称性のようなイメージで処理するのかもしれませんが数学ですからそうも行きません。 ここで直線の性質を使うのでしょう。 「２つの直線がある部分で一致すれば、全ての部分で一致していなければいけない。つまり２つの直線は同じものでなければいけない」 直線ｌ、ｍが回転によりｍ、ｌに一致したというところは錯角が等しいという性質を使っています。しかしこれは錯角の付近での一致です。それが離れたところでも一致するというところで上の性質を使います。これで初めて２つの図が重なることになります。 「２つの直線が２点で交わるのは矛盾である」というのはその後導かれることです。 証明をされている方は「この部分が主だ」と思っておられるかも知れません。でもこれは結論です。難しいのはここではありません。 私は「２点で交わる直線を引く」という「あり得ない場面を作る」というところに難しさのポイントがあるのだと思います。 「あり得ない場面を作る」わけですからこの部分をていねいに、曖昧さのない形で展開しないと「？？？」とペテンだとしか思えなくなります。 おまけ：この辺をていねいに詰めていく事をやっていれば「地球上で引いた平行線は２点で交わってしまうが？」というところに中学生でも行き着くかも知れません。
- N64
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平行でないと仮定したので、平行でない２直線はただ1点で交わる。それなのに、なぜ２点で交わるというのか。そこが、質問者のあなたには、わからないのではないでしょうか。もしそうなら、この疑問はもっともだと思います。
お礼
回答ありがとうございます。 いえ、「なぜ2点で交わるというのか。」という点はわかっています。 わかっているというかそれが矛盾してるから最初の仮定が間違ってる、 つまり与えられた命題が真、ということですよね。
- Trick--o--
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> 180度回転移動させたらＰ＝Ｐ’ 180度回転＝「半回転」ですよ。 簡単に言うと「ひっくりかえす」です。 同じになるのは「全回転」＝360度回転です。
お礼
回答ありがとうございます。 ひっくりかえして位置が変わっただけ、と思ったのですが何だか混乱してきました。
- ht1914
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＃４です。 質問された方は ＞私もこれは覚えるしかないかな、と思っています。 と書いています。私は「こんな証明を覚えて何の意味がある？」という気持ちです。証明を覚えるのであれば「平行線では錯角は等しい」だけですましているのとどこに違いがあるのでしょうか。 参考URLに次のような文章があります。 ＞そんな素朴な疑問を解決していくのが数学の面白さだと私は思いますがみなさんはどうでしょう？ ＞そんな人は多分もう数学が好きになっています。 読んだ人に「覚えるより手がないな」と思わせるような文章を書いていて「これが数学の面白さだ」とか「数学が好きになる」もないだろうと思います。証明は覚えるという道から外れてより明晰さを追求するためのもののはずです。 （参考URLの中の文章は質問文中のチャートの解説よりも荒いです。）
お礼
再度の回答ありがとうございました。 私の数学の能力には意味がないかもしれないけど、入試には意味があるかもしれません…。
- ht1914
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参考URLを見ました。中学生向きだというような書き方をしていますがこれがわかる中学生はいないだろうと思います。ふつうの高校生でもわかりません。もっと説明がいると思います。こういうので説明が出来たと思っていると証明を「覚えよ！」と言っているのと同じになります。数学が暗記物として定着しかかっている（定着している）のをひっくり返すことは出来ません。質問をされている方はえらいと思います。たいていは質問もしません。試験だけのことにしてすんだら捨ててしまいます。 気になったことがあります。 質問も解答もURLも「錯覚」と書いています。「錯角」のはずです。
お礼
回答ありがとうございます。 「錯角」です。申し訳ありません。 変換ミスに気づかずお恥ずかしいです。 私もこれは覚えるしかないかな、と思っています。 （というか、こんなに考えたのでもう覚えてますが…^^;） >もっと説明がいると思います。 もしその説明をご存知でしたら、教えていただけるとありがたいです。
- N64
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>ＰとＱって別の点として考えるのですか？ >というのも180度回転してるわけで、ＰとＱは同じ点じゃないのですか？ そうですね。ちょっと発想の転換が必要かもしれません。少し散歩でもして、リラックスしたら、わかるかも知れません。
お礼
私、煮詰まってますよね…。 一回そう考えてしますと、なかなか発送の転換といかないのですが、 後日この問題に舞い戻ってこようかと思います。 何度もありがとうございました。
- N64
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すみません、参考ＵＲＬです。 http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/tomiyuki/omosiro3.htm
お礼
ありがとうございました。 質問欄に図を書きたいところでしたが断念したので、大変ありがたいです。
- N64
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参考URLの図が解説を正しくイメージするのに、役に立つと思います。あなたの書いた解説を読んで、ああそうかと、簡単にだまされてしまう私と違って、疑問に思うあなたは、偉いと思います。錯覚が等しい２直線が平行でないとすると、1点で交わるというのですが、実際は、最初から２点で交わっている。なんじゃやこれ、話が違うではないか、ですね。
お礼
素早い回答ありがとうございます。 参考URLとまったく同じ問題ですね。 本当に申し訳ないのですが、やっぱり理解できないです…。 リンク先の解説で言うと、「２直線が二点（Ｐ、Ｑ）で交わってしまうので不合理」となっている所なんです。 ＰとＱって別の点として考えるのですか？ というのも180度回転してるわけで、ＰとＱは同じ点じゃないのですか？ この問題はちょっと有名なのでしょうか…？ もし入試で出たら納得していないものの、解説の解答を完璧に書けそうです。^^; お礼なのに補足質問になってしまって申し訳ありません。
お礼
回答ありがとうございました。 矢印を書いたら、確かにPと逆方向にP'がありました。 2本の直線の上の1本を直線CD、下の1本を直線EFとして、180度回転させると 上が直線FE、下が直線DCとなりますよね。 CDとEFの交点であるPが回転前CE側（左）にあるとすると、回転後は右に移ります。 でもまだCE側ですよね？ だからP’じゃなくて回転前と同じ点であるPじゃないかと思ったのですが 私は錯角のこと全然考えていないことに気付きました…。 私には高度すぎる問題のようです。