単振り子にて初速度v0を与え角度を求める式

質問

昔、高校時代に習った記憶があるのですが、式が思え出せなくて困っていますので、お願いいたします。

単振り子において、最下点で水平に垂らした状態に、v =v0 の初速度を与えるとき、振り子が振れる最大角度を求めるというものです。
条件としては、糸長さＬ、質量Ｍ。

回答No.2

marin456 · ベストアンサー

エネルギー保存により
Mgh=(1/2)Mv0^2 (hは高さ)が成立します
よってh=v0^2/2gとなりますから
h=L(1-cosθ)より
cosθ=1-v0^2/2gLとなります。
ここでθが十分に小さいときcosθ=1-θ^2/2より
θ=v0/√(gL)となります

お礼

ん！・・・まさに、私が希望していた回答です。ありがとうございました。
これから式に値を代入して見たいと思います。

回答No.3

sanori

はい。

Ｍ・Ｖ0^2／２　＝　Ｍｇｈ
なので、
Ｖ0^2／（２ｇ）　＝　ｈ

あ、

結局、Ｍいらねーか。（笑）

ほんで、

Ｌ（１－cosθ）　＝　ｈ
cosθ　＝　１－ｈ／Ｌ

θが小さいときは、
sinθ　≒　θ　　（ただし、θの単位はラジアン）

ということは、

１　＝　（cosθ）^2 ＋ （sinθ）^2　≒　（cosθ）^2 ＋ θ^2

ということは

（cosθ）^2　≒　１ － θ^2

Ｌ（１ － √（１－θ^2））　≒　ｈ

θは小さいので、またまた、
√（１－θ^2）
　＝　（１－θ^2）^(1/2)
　≒　１－θ^2／２

ということは、

ｈ　≒　Ｌ（１ － √（１－θ^2））
　≒　Ｌ（１－（１－θ^2／２））
　＝　Ｌθ^2／２

だから、
θ　≒　√（２ｈ／Ｌ）
　＝　√｛２・Ｖ0^2／（２ｇ・Ｌ）｝
　＝　Ｖ0／√（ｇＬ）

（度に直したければ、この最終段階で、はじめて、πで割って１８０かける）

あ、
おんなじだ！

だけど、
物理というものは、最後に次元をチェックするのが肝要。

Ｖ0／√（ｇＬ）

メートル÷秒　／　√（メートル÷秒^2×メートル）
＝　メートル÷秒　／　（メートル÷秒）
＝　無次元

合格！

私、記憶が苦手なので、
θ≪１　→　sinθ ≒ θ
しか覚えてません。
だけど、それで全て間に合います。

お礼

再びの書き込み、ありがとうございます。
質問内容が判り難かったことを、反省しております。

式の変形が分かり易すかったので、自分なりにもう一度確かめて見たいと思います。

回答No.1

sanori

振り子の問題では、周期は、複雑な計算によって、重力加速度ｇと糸の長さＬだけで決まる、変な（というかルートの付いた）結果になりますが、

振幅や運動エネルギーは、単純明快です。

最初にあった角度が、そのまま最大角度、

最初にあった位置の位置エネルギーが、そのまま最大の運動エネルギーになります。

最大の運動エネルギーになるところは、変位がゼロ、すなわち、角度がゼロの時です。

位置エネルギーは、角度ゼロの場所と、最初の場所の、高さの差です。
（横方向は関係なく、縦方向成分だけです。）

お礼

早速の回答ありがとうございます。

まず、文面の訂正からさせてください。
誤）最下点で水平に垂らした状態に、v =v0 の初速度を与える
正）最下点で垂らした状態で水平に v =v0 の初速度を与える
でした、申し訳ありません。

角度θ＝の式で表すことができないかを、悩んでいたものですから、回答を寄せていただいた内容にある、位置エネルギーや変位までは思いもよりませんでした。

角度だけ求めたいので、重量Ｍや重力加速度Ｇを無視して、近似的で大雑把に三角関数を使用して、θ=tan-1 (vo/L) と1秒後の長さから角度を考えても見たのですが・・・