三角関数について

質問

一日考えても、どうしても理解できなかったので、誰か分かる方教えてください。
　sin20度やSin36度などの中途半端な、角度の場合、どうもとめればよいのでしょうか？
　sin45度やsin60度、sin30度などの数値を使って、下方定理で求める方法など考えて見ましたが、まったくできません。。。
　だれかアドバイスをいただけると幸いです。
　よろしくおねがいします。

回答No.1

debut · ベストアンサー

sin20なら、３倍角の公式「sin3θ=3sinθ-4(sinθ)^3」で求められそう
だけど、３次方程式が解けるかどうか？

sin36なら、加法定理と倍角、３倍角の公式を使って sin5θを作れれば
sin180の値からできそうですが・・・・
ちなみに、
sin5θ=16(sinθ)^5-20(sinθ)^3+5sinθ　と５次式（sin180=0なので
実質４次式）になりそうです。

回答No.10

take_5

ごめんなさい、入力ミスです。

48（cosθ）＾3-6（cos）-1＝0である‥‥(1)が誤りで、

8（cosθ）＾3-6（cos）-1＝0である‥‥(1)が正しいです。

＃　途中の計算は違ってないと思いますが。。。。？

回答No.9

take_5

＞問題は、sin20度＋sin40度ーsin80度　の値を求めよということなのですが・・・

20度＝θとすると、cos3θ＝4（cosθ）＾3-3（cosθ）＝1/2であるから、48（cosθ）＾3-6（cos）-1＝0である‥‥(1)

Ｐ＝sin20度＋sin40度ーsin80度＝sinθ＋sin2θ-sin4θ＝sinθ-2sinθ*cos3θ＝sinθ{1―8(cosθ)＾3＋6cosθ}＝ーsinθ{8(cosθ)＾3-6cosθ-1}＝0　(∵　(1))

＃　予想通りの結果です。こういう問題は、結果が綺麗な事が多いです。

回答No.8

tatsumi01

sin 20°は３倍角の公式を使えば解けますが高校レベルでは問題に出ないでしょう。。
sin 36°は円に内接する正５角形を書いて、ある頂点から対角線を２本引くと、２等辺３角形（３個できますね。そのうち２個です）にピタゴラスの定理を使って求めることができます。
sin20°＋sin40°－sin80°は No. 6 の方が正解です。個々の正弦の値を求めるのではなく、和差の公式を使って簡単な形式に変形することを求めています。

回答No.7

noname#241887

倍角を使えばいいと思いますよ。x=36のとき、sin5x=sin180°、
x=20のとき、sin3x=60°、80度なら240度で三倍角を使えばいいと思います。

回答No.6

debut

＞sin20度＋sin40度ーsin80度

　　なら、例えば
　　和積公式で sin20+sin40=2sin30cos10=2*(1/2)*cos10=cos10
　　sin80=sin(90-10)=cos10
　　とかすればよいですね。

回答No.5

peko_pee

自力で求めようと努力されたことにまず敬意を表します。

円周率をpiとします。
角度 x が「度」で表されている場合は(pi/180)を掛けて「ラジアン」に変換します。
そうすると

sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + .....(必要な制度が出るまで続ける）

cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + .....

tan x = x + 1/3 * x^3 + 2/15 * x^5 + 17/315 * x^7 + ....
　(ただし xの絶対値<pi/2 を満たすこと）

で求められます。
この解答欄では空白が詰められてしまう場合があるので読みにくいかもしれません。
ご存知かも知れませんがたとえば「x^3」 は「xの3乗」を表し、「3!」は「3の階乗」を
表します。
sin , cos の式で各項の符号が - , + , - ... となっていることに注意してください。
tan の各項の定数は規則性がよくわかりませんが…。

普通は関数電卓や三角関数表を使うことが多いと思いますが、こういう式を知っていると
また興味が違ってくるかもしれませんね。

参考文献： 理科年表2005年版 付録ページ

補足

たくさんのアドバイスありがとうございます。　考えて見ると、私の解き方と質問に問題があると思い、補足します。　ほんとうにスイマセン。
　問題は、sin20度＋sin40度ーsin80度　の値を求めよということなのですが・・・
　どうかアドバイスお願いします。

回答No.4

neotoujyou

求められない角度はテストに出ないでしょう。
求められるものはやはりなんらかの公式求められるでしょう。

回答No.3

eliteyoshi

あまりにも中途半端な角度のsin,cosの値は加法定理で求めるのは限界があります。よって、関数電卓などで求めるしかありません。

1．Windowsアクセサリの関数電卓を使う方法
「スタート」→「プログラム」→「アクセサリ」→「電卓」
電卓が起動したら、
「表示」→「関数電卓」
「表示」→「Deg」
sin36°は、
「36」と入力して「sin」ボタンを押します。
sin36°=0.587785…
と求められます。

2．Excelを使う方法
セルに
=SIN(36*PI()/180)
と入力してEnterキーを押すと
sin36°=0.587785…
と求められます。

回答No.2

aco_michy

求められる角度と求められない角度があります。
（求められない角度は、三角比の表を使って近似値を使うしかありません。）

知っている例ですけど、
sin75°=sin(45+30)°=sin45°cos30°+cos45°sin30°

とか

sin15°=sin(45-30)°=sin45°cos30°-cos45°sin30°

ですね。
あと使えそうなのは、２倍角の公式、３倍角の公式
を組み合わせて求められる角度です。

簡単に言うと、sin37°は、無理でしょう。