２次方程式の解と係数の関係

質問

解の対称式の値について質問があります。

例えば α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ

これの公式はなぜ最後、-2αβをつけているのでしょうか？
他にも何個か公式がありますがよろしければ説明お願いします。(できるだけわかりやすく教えてもらえるとうれしいです・・・）

回答No.6

partita · ベストアンサー

わかりやすさ、に重点をおいて・・・

5^2+3^2 = (5+3)^2

この等式は成り立ちませんよね。
左辺は25+9で34、右辺は8^2で64だから等しくない。
つまり「＝（等号）」を使用することはなりません。

同様に

α^2+β^2=(α+β)^2

も成立しません。
「α=0、β=0なら成立するじゃないか」
と思うかもしれませんが、それは「方程式」を解いていることになります。

解と係数の関係は、どんなα、βについても成り立つ必要があります。
そういう公式・関係式なのです。方程式ではありません。

よって、左右の計算結果を等しくするために-2αβをつけています。

回答No.5

tatsumi01

皆さんのお書きのように、左辺と右辺が等しいからなのですが、「何個かある公式」の意味を考えてみるとわかると思います。
変数２個の対称式とは、αとβを入れ換えても値が変らない式である、ということはわかりますね。で、問題の式の右辺も左辺も対称式です。
この公式は何を示しているかというと、左辺の対称式が（α＋β）とαβで表されることです。（α＋β）とαβは最も簡単な対称式です。
つまり、任意の対称式は（α＋β）とαβで表される、ということです。他にもあるという公式を眺めてみて下さい。

回答No.4

debut

他には、α－βの値を求めるのに
　(α－β)^2=(α＋β)^2－４αβ　とか
　　　＜(α－β)^2=α^2－２αβ＋β^2=α^2＋２αβ＋β^2－４αβ　より＞

３乗の
　α^3＋β^3=(α＋β)^3-3αβ(α＋β)　とか
　　　＜３乗の展開公式　(α＋β)^3＝α^3＋３α^2β＋３αβ^2＋β^3で
　　　　中の２項を因数分解して　(α＋β)^3＝α^3＋β^3＋３αβ(α＋β)
　　　　３αβ(α＋β)　を移項＞

など、どれも展開公式を部分的に移項などしてできます。

回答No.3

noname#22681

右辺をすなおに展開してみますと、
(α+β)^2-2αβ=(α+β)×(α+β)-2αβ
=α(α+β)+β(α+β)-2αβ
=α^2+αβ+αβ+β^2-2αβ
=α^2+β^2
というわけで、左辺と同じ式になります。

覚えておくべき公式は、下の式です。
(α+β)^2=α^2+2αβ+β^2
この式の両辺から2αβを引いて、左辺と右辺をいれかえると、ご質問の式になります。

回答No.2

tuort_sig

(α+β)^2=α^2＋２αβ＋β^2　　　←展開の公式そのもの

この式を良く見て、両辺から２αβを引いてみると・・・

(α+β)^2-2αβ=α^2+β^2です。

他のものも同様に考えて・・・

もうわかりましたね

回答No.1

notnot

＞これの公式はなぜ最後、-2αβをつけているのでしょうか？

左辺と右辺を等しくするためとしか言いようが無いですね。

＞できるだけわかりやすく教えてもらえるとうれしいです

何を知りたくて、どのあたりがわからないのでしょう？何年生ですか？