(d(a,x)-r,d(a,x)+r) ⊆ d(a,Ur(x)), (a￢∈Ur(x)) の式での証明
(以下の文章中での'_'は字下げです)
U;R^n(n次元ベクトル空間)の開集合, 任意のx∈U,
0<r∈Rは, Ur(x)⊆Uなる実数, ￢a∈U(aはUの元でない)
d(a, ):R^n→[0,∞) は距離関数.
この時,
___(d(a,x)-r,d(a,x)+r) ⊆ d(a,Ur(x)), (￢a∈Ur(x))
を"図によって"では無く,"式によって"で証明したいのです。(図を用いるとこの式の成立は明らかです。) ご協力お願いします。
[私の証明の方針≡ y∈(左辺)⇒y(右辺)]
￢a∈U → ￢a∈Ur(x) ⇔ d(a,x)≧r を用いて、
y∈(左辺)⇔0≦d(a,x)-r＜y＜d(a,x)+r これより,y≧0
写像d(a, )は[0,∞)で全射(?)だから, ∃w∈R^n,y=(a,w) が言えて,
___r>|d(a,w)-d(a,x)|
d(x,w)<r が成り立てば,証明は完了である.なぜなら,
__d(a,Ur(x)) = {y∈R|∃w∈Ur(x),y=d(a,w)}
________________= {y∈R|∃w∈R^n,y=d(a,w)∧d(x,w)<r}
だから.
ですが,距離関数の公理を用いても,
___|d(a,w)-d(a,x)|≦d(x,w)
が導けるだけで, d(x,w)<r に到達できません.
どうすればいいのでしょうか?
考え方が間違っているのでしょうか?
