入試数学で伝説の良問

質問

大学入試などで、これはいい、なるほど、という良問を持っていれば教えて下さいませんでしょうか。ここ（教えて！GOO）に出たものでもかまいません。
ついでに考え方を書いていただけるとありがたいです。
少し離して頂けるとよりありがたいです。（少し考えることができます。）
ちなみに僕は、1977　京大　のサイコロを三回まで投げられ、出た目を得点とするとき、二回目と三回目の振り方（この目が出たら投げるか投げないか）。が面白かったです。
あと、最近では２０００東大のπを求めるものが有名でしょうか。

回答No.12

noname#20999 · ベストアンサー

ではNo.10の上の問題のヒント(別解もあります)

N'=a^2+b^2が成り立つとき、
25N'=(5a)^2+(5b)^2
=(3a)^2+(4a)^2+(5b)^2
=(3a)^2+(4a)^2+(3b)^2+(4b)^2

従って25N'は2,3,4個の平方数和として表せます。
同様に考えると…(以下略)

かなり大きな数になりますが答えが出ると思います。
条件を満たすNの最小値も求めてみたいですね。

序でに下の問題の問１の回答も。
n=1のとき、幾つか具体的な数字で考えてみれば、
1÷p，4÷p，…((p-1)/2)^2÷pの余りについて考えれば十分だと分かると思います(証明略)。
1≦i＜j≦(p-1)/2を満たすi,jについて、
i^2÷pとj^2÷pの余りが等しいならば
i^2≡j^2 (mod p)
⇔(j-i)(j+i)≡0 (mod p)
1≦i＜j≦(p-1)/2，pは素数より上式をみたすi,jは存在しない。ゆえにこの範囲で余りが重複することは無いからf(p)=(p-1)/2。

n=2のときは1≦i＜j≦(p^2-1)/2について考えれば十分。
1≦i＜j≦(p^2-1)/2を満たすi,jについて、
i^2≡j^2 (mod p^2)
⇔(j-i)(j+i)≡0 (mod p^2)
⇔j-i≡j+i≡0 (mod p) (1≦i＜j≦(p^2-1)/2より)
従ってi,jがpで割り切れるとき余りは等しくなる。
つまりi^2はp^2で割り切れるので、余りの種類には含めない。
従って求める余りの種類は1から(p^2-1)/2までの自然数のうちpの倍数((p-1)/2個)を除いたものの個数。
すなわちf(p^2)=p(p-1)/2。

n≧3については漸化式を作るのですが自分でも上手く説明できないので省略。
f(p,n)=f(p,n-2)+p^(n-1)*(p-1)/2となります。

問２はp≧5という条件を忘れていました。
n=1,2のときは問１を利用して余りの和をΣで表すのですが…
n≧3については帰納法を用います。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

noname#20999

入試問題ではないですけど。「2<e<3を示せ。但しeは自然対数の底」

お礼

早速の回答ありがとうございます。

補足

マクローリン展開などを使わずに、高校数学でですか？