点と直線の距離d
お世話になっております。
数学IIの図形と方程式から、実際には円と直線の共有点の個数を定める基本的な問題についてですが、これまた基本的な点と直線の距離dを導く過程でてこずってしまい、恥ずかしながら質問致します。
問題「円x^2+y^2=1とy=x+kが異なる二点で交わるときの、定数kの値の範囲を定めろ」というのを、原点から直線までの距離dと円の半径rとの関係から導く方法でもとめようと思います。
公式を使えば、d=|k|/√(2)と出来ますが、公式の定着が良く無く、一から式を立てようとやってみましたら……
y=x+k…(1) として、まず原点Oから直線(1)に垂線を下ろし、その足をH(x0,y0)とする。二直線については、(1)⊥直線OH であるから、OHの方程式の傾きmは、m・1=-1より、m=-1。また、OHは原点Oを通るから結局OHの方程式は y=-x…(2)になる。
さらに垂線の足Hは、二直線(1)(2)の交点であるから、(1)と(2)の連立方程式の解としてHの座標が得られる。これを解くとx0=-(k/2)、y0=k/2。
これらから、dは線分OHの長さとして、d={√(2k^2)}/2。一方円の半径rは1だから、
{√(2k^2)}/2<1。有理化して整理すれば、|k|<√(2)より場合分けして、-√(2)<k<√(2) となる。
一から式を立てると面倒ですが、公式の丸暗記が当てにならない当方としては、時々こうやって一から考え直すと頭がスッキリするのですが、公式を使う場合より、計算が煩雑で解き方より計算に脳みそが偏ってしまいます。なので、ここまでの解の筋道についておかしな点がありましたら、御指摘下さると嬉しいです。宜しくお願い致します。
お礼
ありがとうございました。