囚人が死刑になる確率

質問

某HPでこんな問題をみつけました。

囚人A,B,C 3人がのうち、2人が死刑になるという。
囚人Aが死刑になることが確定したとき、囚人Cが死刑になる確率は1/2であるといってよいか。

結論から言うと、囚人Cが死刑になる確率は2/3であり、1/2ではないということなのですが、それが理解できません。
一応、URL貼っておきます
http://members.tvnet.ne.jp/muraken5/math/m001.html
助けてください。

以下、私の困った解答です(^^ゞ

死刑になる囚人の組み合わせは、
(A,B)
(A,C)
(B,C)

以上から、囚人Aが死刑になる事象をA、
囚人Bが死刑になる事象をBとすると、
n(A)=2、n(A∩B)=1
したがって、PA(B)=1/2

回答No.7

kohta83

NO.5です。
質問に答えます。

＞事象ａとは「Ａが死刑になる」事象ですよね？

ここが違います。aは「看守が『Aが死刑になる』と教える」という事象です。
この差がこの問題の最も重要な点です。

※もし「看守が『Aが死刑になる』と教える」のではなく、「Aが死刑になった」のであれば、No.6さんも指摘している通り、Cの助かる確率は1/2になります。

なぜ、両者の違いに出るかについてはNo.5およびNo.6の回答をもう一度ごらんになって下さい。その上で質問があればまた書き込みを。

もう１点
>>(1)の確率は、P(C)×1/2=1/6
>>(2)の確率は、P(B)×1=1/3
>>と、ここでいきなりP(C),P(B)が変わってしまうのも変で>>す。

とありますが、これはP(C)、P(B)が変わったことを意味する式ではありません。この数式の意味についてもNO.5をもう１度ごらんになって下さい。

あと、No.6さんの指摘に補足ですが、この問題の設定上、Cが死刑になる確率は2/3のままですが、Bが死刑になる確率は1/3に変化する点を忘れてはならないと思います（正確に言うと「看守がAに対して『Aが死刑になる』と教えた」、ということを知った人にとっての確率ですが）。

看守の発言は確率に影響を与えない、といってしまうのはやや早計ではないでしょうか。

回答No.6

Schneider2000

数式やカードも良いですけど、もっとシンプルに考えてみて下さい。３人の内どの２人が死刑になるか、その選び方が問題です。

まず１人が選ばれ、その後残った２人から１人が選ばれるというやり方だとしましょう。まずＡが選ばれ、その時点でその事を看守に聞いたのなら、確率は1/2になったと喜んで良いでしょう。１人目に選ばれなかった分、確率は下がります。要するにロシアンルーレット方式です。これならその都度確率は変化していきます。

しかし、この問題ではどの２人が死刑になるか、あらかじめ決まっているわけです。看守に聞いた時点で、既に自分が死刑になるかどうかは決定されているのですから、聞こうが聞くまいが確率は変わらず2/3です。

看守から「Ａが死刑」と聞いた時点で、あたかも今から自分かＢかが選ばれるかのように錯覚してしまうところがポイントです。

回答No.5

kohta83

前の人と重複する内容があればごめんなさい。

僕の条件付き確率の理解は、得た情報の下でのその人の「主観的な確率」というものです。

便宜上、A,B,Cを「その人が助かる」という事象とします。この囚人Ｃにとって、P(A)=P(B)=P(C)=1/3です。

しかし、看守の答えを聞いて、新たな情報が追加されました。

a(b,c)をそれぞれ「看守が、A(B,C)が死刑になる」と教える、という事象とします。

例では、aという事象になったわけですが、この時囚人Cは考えます（考えることが合理的）。

aという事象には、２つのケースがあり、
(1)もう一人死刑になるのはBである（よってA,Bの２人のうちからランダムに答えを選んだ）
(2)もう一人死刑になるのはC自身である（よって、Cについては教えられないという条件のもとではこれしか回答のし選択の余地がなかった）

(1)の確率は、P(C)×1/2=1/6
(2)の確率は、P(B)×1=1/3

この合計(1/2)を全事象として、自分が死刑になる確率は、
(1/3)/(1/2)=2/3

僕はこのＵＲＬの説明は間違っていないけど、分かりやすくはないかなと思いました。

何か間違い等ありましたら、修正願います。

お礼

>>aという事象には、２つのケースがあり、
(1)もう一人死刑になるのはBである（よってA,Bの２人のうちからランダムに答えを選んだ）
(2)もう一人死刑になるのはC自身である（よって、Cについては教えられないという条件のもとではこれしか回答のし選択の余地がなかった）

(1)の確率は、P(C)×1/2=1/6
(2)の確率は、P(B)×1=1/3

事象ａとは「Ａが死刑になる」事象ですよね？
(1),(2)から、(1/6)+(1/3)=1/2
すなわち、P(a)=1/2 ????

これはおかしいのでは？
Ａが死刑になる確率もＣが死刑になる確率と同様に2/3ではないのですか？

また、
>>A,B,Cを「その人が助かる」という事象とします。この囚人Ｃにとって、P(A)=P(B)=P(C)=1/3です。

でありながら、
>>(1)の確率は、P(C)×1/2=1/6
(2)の確率は、P(B)×1=1/3

と、ここでいきなりP(C),P(B)が変わってしまうのも変です。

…なんだか文句ばっかり言っているみたいで恐縮ですが、またお願いします。
レスありがとうございました。

回答No.4

michiya_2005

リンク先の問１０を読めば、2/3になるというのは理解できると思うのですが・・・

お礼

このカードの意味がわからないんですよ。
余計混乱するだけのような…。

回答No.3

pyon1956

うーん。このURLの説明は変ですね。
つまり、確率2/3で死刑になる、というのと3人のうち２人が死刑になる、というのを混同しているように見えます。
前者の場合、確率8/27で全員死刑になる場合もあります。また確率1/27で誰も死刑にならない場合もある。
これに対し、後者の場合、死刑になる人数は常に２人です。
というわけでリンク先の説明が変、に一票。

お礼

む。確かに。
言われてみれば怪しいですね。

と思ってもう一度例のＨＰを見て気が付いたことがあります。

問１１において、
P(私|Ａ) = P(Ａ∩私)/P(Ａ) = (1/3)÷(1/2) = 2/3

P(A)=1/2っておかしくないですかね？

回答No.2

パんだ パンだ（@Josquin）

看守は本人には死刑になるかならないかをいうことが出来ない、というところがポイントなのでは？

回答No.1

okame04

簡単に言うと、死刑になる人は3人中2人と決まっているわけで、1人が決まったところで残り2人中あと1人ということにはならないわけです。

リンク先にも書いてありますが、
【１(死刑になる、ならないすべての確率を足した数字)－１/３(死刑にならない確率)】
と計算すると当然死刑になる確率が出てくるわけです。そんなに難しく考える必要はありません。理解できましたでしょうか？？