フーリエ級数展開式の意味について

質問

授業で先生からf(t)=Σ(ancos2πnft+bnsin2πnft)は何を意味してるのかという風に聞かれれたのですが、その時は何も答えられずに結局次回までの宿題にされたのですが、友達や本、インターネット等で調べたのですが、どこにもそれらしいことが載っていなくて質問してみました。
出来る限り早めの回答、お願いします。

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

任意の形状の周期波f(t)は、
１）その周期に等しい基本周波数とその整数倍の周波数の高調波の和
に
２）平均値
を加えたもので表現できる

ということをフーリエ級数は示しています。

f(t±nTo)=f(t),Toは基本周期,nは任意の整数
のとき
f(t)=a_0/2 + Σ(a_n cos2πnfot+b_n sin2πnfot)
fo=1/To,Σはn=1から∞までの和です。
現実の周期波は周波数成分の上限は有限ですので n=∞までの周波数成分までの和とはなりません。
音であれば、可聴周波数の上限までの高調波の成分まで、矩形波や三角波などの波形であればその波形形状がそれらしく見える成分まで加えれば十分です。

このことは基本波の正弦波とその整数倍の周波数の正弦波と用意し、それらの波形の振幅と位相を変えて加える電子回路を使えばどんな周期波でも作り出せるということです。
この様なフーリエ級数展開の原理は、エレクトーンやキーボードなどの電子楽器を生み出し、バイオリンやピアノ、太鼓など任意の楽器の音が作り出せるようになったわけですね。

また、音声の周期波分析で人の音声の周波数分析で、声紋分析が可能になり、誰の音声か、どんな動物の鳴き声か、あるいは、どの船や潜水艦のスクリュー音かの判定にも使われます。なお、音声は声帯の開閉振動で作られる基本周波数の鋭いパルス波（基本波と高調波の和で構成される。）を気道や口腔（舌や口内の空間形状の変形）である周波数成分を強調したり、減衰させて声出していますね。

このようにフーリエ級数展開出来ることで、任意の音の出せる電子楽器を生み、また声紋分析による音源の特徴分析が、犯罪捜査における犯人割り出した、不明船舶の特定、心音分析での心臓の異常診断、その他の様々な応用分野で利用され、役立っています。