確率が非常に低いといえるのはどの程度変動するときかについて

質問

一日ごとに値が変動する数値が存在するとします．現在100の値として，100日後に値Xをとなる確率が2%以下となるときのXを求める方法が知りたいです．1日後の変動量の標準偏差を1%とします．

具体的には，米ドル1ドルが日本円で100日後に確率的に2%以下となる米ドルのレンジの算出方法が知りたいです．

例えば本日1ドル120円と仮定して，100日後に確率的に2%以下となるのは150円以上か90円以下というような計算をしたいです．本質問の趣旨です．

確率統計の考え方により，正規分布に帰着できるような話を聞いたことがあります．ブラック・ショールズ式だったかな？中心極限定理とか？？

そこで，標準偏差を1日あたり1%とか設定すれば，s日後に確率的にt%ととなるレンジはu円以下，v円以上と計算できるように思えましたが，数学が分かっていないために計算式がわかりません．．．

有識者の方よろしくお願いいたします．

回答No.1

rabbit_cat

まず、普通は、こういう割合の変動は、
対数正規分布で近似する場合が多いです。
というわけで、
＞標準偏差を1日あたり1%とか設定
とかいうのも、算術平均の意味ではなくて、幾何平均の意味です。
それを前提として上で。

平均μ、標準偏差σの正規分布に従う互いに独立なs個の確率変数X1,X2,X3…Xsがあると、
X1+X2+…+Xs
は、平均 s×μ 標準偏差 √s×σ
の正規分布に従います。

もとの分布は対数正規分布であったので、
exp(X1+X2+…+Xs)-1
が、実際の変動率です。これが、t%以上なら、そこから逆算すれば、
X1+X2+…+Xs
がいくつ以上でないといけないかわかるはずです。

あとは、「正規分布 パーセント点 上側確率」
なんかの用語で検索してみてください。