スカラー３重積

質問

m,nを単位ベクトルとし、s,tをそれぞれのパラメーターとする空間の２直線x(s)=a+sm,y(t)=b+tnが交わるための条件は[a,m,n]=[b,m,n]であること、またその場合の交差点の位置ベクトルをa,b,m,nを求めるにはどうしたらよいのですか？
[ ]:スカラー３重積

回答No.1

skhdknds

どうやら完全な回答をしてはいけないということかな。
交点の位置ベクトルをCとすればC,m,nは平行六面体を成す。その体積はm,nの平行四辺形の面積Aと、Aの法線へのCの方向余弦との積。これはスカラー三重積の幾何学的意味と同じであるから[a,m,n]=[b,m,n]

　原点から直線x=a+smへの垂線ベクトルxoでaを置き換えて直角三角形の形にする。
xo=a+som
xoとmは直交
xo・m=a・m+som・m=0
so=-a・m/m・m
soと|a|から|xo|が求まる。
直線xは新パラメータpでx=xo+pm
直線yも同様にx=yo+qn
交点x=yではxo+Pm=yo+Qn=Cでありmとnの挟角からPとQが求まりCが求まる。