すべてのｋ≧１ に対して、１＋２ｋ＾２＜２＾｛２ｋ｝ であること

質問

これも素数の世界からですが、
自分としてはF(k)=１＋2k^2、G(k)=2^{2k}　として
関数を考えればF(1)=3 ＜G(1)=4　ですし
指数関数の方が増加量が多いだろうから何となく成り立っている感じはするのですが、うまく説明が思いつきません。よろしくお願いします。

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

多分、
> これも素数の世界からですが、
という記述から、k は正の整数だと思うので、そのつもりで回答します。

こういうときは、数学的帰納法を使うのが便利です。

k=1 のとき
（左辺）= 1+2 = 3
（右辺）= 2^2 = 4
で成立している。

ある k = m, m=1,2,... で成立していると仮定する。
k=m+1 のとき、
（左辺）= 1+2(m+1)^2 = (1+2m^2) + (4m+2)
（右辺）= 2^{2(m+1)} = 2^{2m} + 3×2^{2m}
であるから、
（右辺）-（左辺) = 2^{2m} + 3×2^{2m} - (1+2m^2) - (4m+2)
= 2^{2m}-(1+2m^2) + 3×2^{2m}-(4m+2)
である。仮定から 2^{2m}-(1+2m^2)>0 であり、また3×2^{2m}-(4m+2)>0 は明らかだから、
2^{2m}-(1+2m^2) + 3×2^{2m}-(4m+2) > 0
より k=m+1 でも成立する。

以上から、全ての正の整数 k について題意が成り立つことが示された。

お礼

ありがとうございました。整数に限定する方法はあらためて関心いたしました。

回答No.3

yoikagari

微分を用いた別解を。
(ここではkは実数)
H(k)=G(k)-F(k)=2^(2k)-(1+2k^2)=4^k-(1+2k^2)とおくと
H'(k)=(log4)*4^k-4*k
H''(k)=(log4)^2*4^k-4
k≧1となるとき、
H''(k)=(log4)^2*4^k-4＞4^k-4≧0となるから、
よってH'(k)はk≧1で増加関数
H'(1)=(log4)*4-4＞0
したがって、k≧1でH'(k)＞0
よってH(k)はk≧1で増加関数
H(1)=4-(1+2)=1＞0
したがって、k≧1でH(k)＞0

よって、k≧1のときH(k)＞0
すなわち、G(k)＞F(k)がいえました。

お礼

ありがとうございました。すっきりした感じです。

回答No.1

sunasearch

f(k)=右辺ー左辺として、

f'(k) > 0 を示せばいいのでは？