ｙ＾ｘ＝ｘ＾ｙのグラフ上の交点はeを示していますか?

質問

GRAPESを使ってタイトルの方程式をグラフにすると交点を持ったグラフが描かれますが、この交点はeであるように見えます。この理由は簡単なことなのかもしれませんが、いくら考えてもわかりません。考えるためのヒントでも結構ですのでご教示ください。また私の書いたこと自体が誤りの場合にはその点もご指摘ください。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

x,yは正とします。

y^x=x^yの両辺の対数をとると
xlogy=ylogx
両辺xyで割って
logy/y=logx/x
という形になります。

そこで、z=logx/xというグラフを考えてみると、
0<x<eで単調増加、x=eで極大、e<xで単調減少
x→+0でlogx/x→-∞,x→+∞でlogx/x→0
でである事がわかります。

よって、直線x=aと曲線x^y=y^x(⇔logx/x=logy/y)の交点の数は、
0＜a≦1では１つ
1＜a＜eでは２つ
a＝eで１つ
e＜aで２つ
となっています。

a=eの所で１つになっていますが、この部分の交点が、

＞この交点はeであるように見えます。

の部分で仰る交点のことでしょう。

という訳で,点(e,e)で×のようにグラフが交差する、というのであっていますね。

お礼

大変勉強になりそうな材料をそろえていただいた感じです。早速勉強させていただきます。ありがとうございました。