地表からの高度と空気の密度とロケットの打ち上げの関係

質問

地球からロケットを打ち上げる時、ロケットの高度が上昇すれば空気の密度が薄くなり、加速がし易くなるそうですが具体的な高度はどのくらいの高さですか。計算する計算式があれば教えてください。
あと、地球上の空気を留めておける重力の大きさはどの程度ですか。これも計算式があれば教えてください

回答No.6

Teleskope · ベストアンサー

>>　地球からロケットを打ち上げる時、ロケットの高度が上昇すれば空気の密度が薄くなり、加速がし易くなるそうですが具体的な高度はどのくらいの高さですか。 <<
>>　ロケットは第一宇宙速度に達する加速を空気が薄くなってから行うとこれも読んだのですが、どのくらいの高度で加速するのが効率がよいのでしょうか、<<

　周回軌道に乗せるロケットと、観測ロケットやアメリカ民間飛行のような周回軌道に乗らないロケットでは話が全く違いまして、空気抵抗による「エネルギ損失」が気になるのは後者です。前者では総エネルギの数％程度なのです。いいロケットでは消費税程度です。　このことは ご予定のシミュレータができれば数値的に納得するとおもいますが、現状のあなたには想像できてないと思われる「重力損失」の方が「空力損失」より大きいです。端的に言えば もっと瞬発力を上げて短時間に加速した方が重力損失が減って トータルでお得です。
　シャトル機が速度を押さえぎみにして空力を押さえてる理由は あの形ゆえの構造強度上の制限が主です。エネルギ損失を押さえるためにやってるのではなく機体をかばってるのでした。　よく言われる「大気濃密な層はゆっくり、真空中で加速」は 必然的にそうなってるだけです。（それ以外やりようがない、クルマや航空機の速度加減自由自在とはまったく違うのです。　陸上競技のハンマー投げや砲丸投げの投てきフォームに似てまして、短時間にエネルギをより多く注入できるフォームを試行錯誤するようなものです。シャトルの「かばい」は ヒザがちょっと弱いので踏み出しを気持ち加減するようなものです。投てき距離はちょっと落ちます。）

　↓シャトルの動圧の例。
http://www.aerospaceweb.org/question/aerodynamics/q0025.shtml
　数値の換算などは
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=903845

　Max-q になってる高度は約 10km。高度 50km（150000feet)以上はもう空力を考える必要がありませんね。No5の絵では成層圏の上端です。　大気密度～高度の式は このへんまでで良さそう、といことです。

　次に、ぐっと小型の衛星打ち上げロケットの動圧の例。
http://www.isas.ac.jp/j/enterp/rockets/vehicles/m-v/07.shtml
　図が小さいですが、Max-q はやはり 10km程度、約 50kmでほぼ無視できてます。シャトルと大きさがずいぶん違うのに大局的には似たような傾向なんですね。

　シミュレーションは色々な意味で たいへん良い勉強の機会になると思います。一気にやろうとせずに 最初は真空中の垂直打ち上げあたりから始めて 長期計画で 段階的にバージョンアップするのがいいかもです。
垂直打ち上げなら軌道は一次元なので全貌を把握しやすいです。その微分方程式が解析的に解ける（積分ができて解が数式で得られる）のは、

(1) 空気抵抗なし、重力なし、質量変化あり　は解けます。
　　　有名なツォルコフスキーの式ですね。
(2) 空気抵抗なし、重力あり、質量変化あり　は解けます。
　　　上式に重力損失項が付きます。
(3) 空気抵抗あり、重力あり、質量変化なし　は解けます。
　　　雨粒や鋼球の落下です。ここの過去QAでも続出です。
　　　終速度という値に近づきます。
(4) 空気抵抗あり、重力あり、質量変化あり　は解けません。

実際のロケットは(4)でして、解けないものは数値積分するしかありません、実際のロケットの設計もそうやってます。噴射時間の配分を変えながら 機体への空力（強度が要求されると重くなります）、最終速度の変化を 何度も何度も数値積分して、最適点（というより妥協点）を探ってます。

　空気抵抗がある場合は、空力係数（Cd）が速度で変化する場合は解析的には解けません。Cd～マッハ数の関係はロケットの本やサイトから拾えます。

　最初は解析解がある場合のシミュレーションをして、シミュレーション結果と解析解の計算値と突き合わせれば自分で検証ができます。解析解の式があってるかどうかなどは、このサイトでご質問を。過去ログに類似のＱＡがいっぱいありますが。

お礼

＜空気抵抗による「エネルギ損失」が気になるのは後者です。前者では総エネルギの数％程度なのです。

一回目読んだときには気づきもしなかったのですが、モデルロケットの抗力係数（０．１以上！）と実際のロケットの抗力係数には雲泥の開きがあるんですね。
モデルロケットの抗力係数を参考にロケットを飛ばそうとするとロケットが飛ばないんで二日悩み続けました。

＜シミュレーションは色々な意味で たいへん良い勉強の機会になると思います。一気にやろうとせずに 最初は真空中の垂直打ち上げあたりから始めて 長期計画で 段階的にバージョンアップするのがいいかもです。
　僕は大きな思い違いをしていたようです。眼が覚めました。
　段階的に足場を固めていこうと思います。
　ご回答有難うございました。

回答No.7

Teleskope

>>　惑星（例えば地球）を例にとって、地表を離れれば離れるだけ空気の密度が減少するということを本で知ったのですが、高度と空気の密度の関係を計算する数式はありますか、あれば教えてください。 <<

１．
　　　　　　　　　　　底面積 A （適当でよい）
　P-dP，ρ-dρ
　|￣￣￣￣|　　　　厚さ dz
　|＿＿＿＿|
　　P，ρ　　↑
　　　　　　　 ｜　　重力加速度 ｇ 下向き
　　　 　 　 　 Z
　　　　　　　 ｜
　　　　　　　 ↓
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 地表 Po, ρo

　大気は上ほど薄いという事実を踏まえて、高さが dz 上がると圧力が dP下がり、密度が dρ 下がるとします。温度も関係するので変数が多すぎですね、お互いの関係式を利用して減らします。
　まず気圧と体積の関係「ボイルの法則」を。
　　PV = 一定 = RT　　…(1)
Pは圧力、V は空気1モルの体積、R は比例定数、T は温度です。
空気1モルの質量をm とすると密度ρは
　　ρ= m/V
これに（１）のVを入れて
　　ρ= (P/T)(m/R)　　…(2)
(m/R)は定数ですね。

２．
　地球の場合などは 地上での値が分ってるのでそれを o を付けて表すと；
　　ρo = (Po/To)(m/R)　　…(3)
(3)を(m/R)=の式にして(2)に入れると
　　ρ= ρo(To/Po)(P/T)　　…(4)
ややこしいですけど、これが「地上での値」と「上空の値」の関係式です。

２．温度変化が無い場合。T=To一定
No.5の絵の、成層圏の下の方（ロケットの動圧最高のあたり）ではＴ=約一定なので この場合に相当します。たしか約-60℃です。　Tが一定だと(4)式は
　　ρ= ρo(P/Po)　　…(5)
となります。
再び１項の図で

　　　　　　　　　　　底面積 A （適当でよい）
　P-dP，ρ-dρ
　|￣￣￣￣|　　　　厚さ dz
　|＿＿＿＿|
　　P，ρ　　↑
　　　　　　　 ｜　　重力加速度 ｇ 下向き
　　　 　 　 　 Z
　　　　　　　 ｜
　　　　　　　 ↓
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 地表 Po, ρo

　上面の圧力は (P-dP)A、下面の圧力は PA ゆえ圧力差は
　　PA-(P-dP)A = AdP
密度は dz が極めて小さいと dρも極めて小さいので、ほぼ ρです。底面積Ａ、高さdZの柱の体積は Adz、その質量は ρAdz、それが重力加速度 g を受ける力は gρAdz です。大気が静止してるとすれば これらの力の合計はゼロ、ゆえに
　　AdP＋gρAdz = 0
　　dP = -gρdz　　　…(6)

これに(5)を入れると
　　dP = -gρo(P/Po)dz
gもρoもPoも一定値です。つまり 変数が P と z の 2つだけの微分方程式になりました。その変数は左右に分離できる形なので、
　　dP/P = (-gρo/Po)dz
変数 2つなら数学でやった dy/dx とおなじですから解いて（と言うか積分の公式を探し出して代入するだけです。）
　　log(P) = (-gρo/Po)z　　積分区間は z=0～z=z
　　左辺 = log(P)－log(Po) = log(P/Po)
　　右辺 = (-gρo/Po)z－(-gρo/Po)0
　　　　　 = (-gρo/Po)z
ゆえに解は
　　 log(P/Po) = -az
a は、
　　a = gρo/Po
対数を指数になおして
　　P = Po・exp(-az)
　　　 = Po/exp(az)　　…(7)
ρの式(5)に入れると
　　ρ=ρo・exp(-az)
　　　 =ρo/exp(az)　　…(8)

　aの値は；
　　g = 9.8 m/s
　　ρo≒1.2 kg/m^3
　　Po = 1013ヘクトパスカル = 101300 Pa
　 　 　 = 101300 N/m^2
　 　 　 = 101300 (kgm/s^2)/m^2

３．温度変化がある場合。
地球の場合、対流圏や成層圏の上の方がこれに相当しており、
　　T = To(1－bz)　　…(9)
と直線で近似できます。No.5の絵で見るとおり実測がほぼ直線的です。
　ちなみに対流圏の場合は この分野でよく使う公称値（地上は約15℃=288Kで低下率は約-6.5K/km）より、
　　b≒0.00002257 m^-1
ほどです。
成層圏での値はネットで探してください。

(4)式
　　ρ= ρo(To/Po)(P/T)　　…(4)
に(9)を入れて(6)に入れると
　　dp/P = (-go/Po)・dz/(1-bz)
積分すると左右とも log(…) の形になるので、左右の(…)が等しいと書けて（途中省略、ご自分で）
　　P = Po(1-bz)^(a/b)　　…(10)
(5)より
　　ρ=ρo(1-bz)^(a/b)　　…(11)

　以上、(8)式と(11)式が ご質問への回答です。

お礼

数式の言わんとしていることは解りました。
　でも、僕自身の数学的知識の不足が問題のようです。
　高校の数学を勉強しなおして、チャレンジしたいと思います。
　ご回答有難うございます。

回答No.5

Teleskope

>>　惑星が大気を保持するか否かは太陽風、惑星の質量、惑星の温度で決まると言うことですか？ <<

　です。そのなかで地球自身が出してる熱（地熱）は無視できまして、お書きの「惑星の温度」は「大気最外部の温度」です。月のように磁場が微弱なものは太陽風で文字どおり「吹き飛ばされ」ますが、たとえ磁場で太陽風がブロックされていても、陽当たり良好だと 光のエネルギで温まると言う意味です。成層圏の上のあたりからどんどん高温になってるのは 太陽風の温風暖房ではなく「直射日光、それも強烈な紫外線」によるものです。

>>　どのような書物に <<

　百科事典的知識ならネットでも見られます。
http://kobam.hp.infoseek.co.jp/meteor/atmospheric-vertical-structure.html

　これらは地道な観測の積み上げの成果です。低層は気球、その上は観測ロケット、レーザー光の反射（簡単に言えば；敵機の存在をレーダー電波で捉えるのと同じで、電波が波長の短いレーザー光になって、敵機が 微細なゴミとか 照らされると反射してしまって存在がばれてしまう性質の原子です。反射が帰ってくるまでの時間で距離が分るのもレーダーと同じです。）例えば、
　↓の「ライダー」の項に温度の高度分布の図があります。
http://www2.nict.go.jp/kk/e412/CRL_News/back_number/172/172.htm
　前記の百科事典的な絵などはこういった資料に基づいて描かれます。

　サイト探しは どんどん検索して、キーワードのコツをみがくことです。
http://www.google.com/search?num=100&hl=ja&as_qdr=all&q=%E5%A4%A7%E6%B0%97+%E6%A7%8B%E9%80%A0+%E6%B8%A9%E5%BA%A6%E5%88%86%E5%B8%83+%E5%AF%BE%E6%B5%81%E5%9C%8F+%E6%88%90%E5%B1%A4%E5%9C%8F+&lr=

　気体の温度と分子速度の関係の方は、統計力学（熱力学の基礎のようなものです）の専門書で学べます。これは「温度とはなんだ？」という、生活感覚では分ってるけど正体を問われると答に窮する、そんな根本を見つめ直す機会になります。こういう基本に関わることは科学全般でさりげに使われますので。（今の例のように。）

（もう一つの質問が消えてたのでこちらに貼りなおしますね、質問はあれもこれもと混ぜずに 切り分けて個別の質問になってる方が 回答する側としては楽です。）

お礼

＜です。そのなかで地球自身が出してる熱（地熱）は無視できまして、お書きの「惑星の温度」は「大気最外部の温度」です。月のように磁場が微弱なものは太陽風で文字どおり「吹き飛ばされ」ますが、たとえ磁場で太陽風がブロックされていても、陽当たり良好だと 光のエネルギで温まると言う意味です。成層圏の上のあたりからどんどん高温になってるのは 太陽風の温風暖房ではなく「直射日光、それも強烈な紫外線」によるものです。

　輻射熱と自転速度が問題と言うことですね。

＜これらは地道な観測の積み上げの成果です。

　理科年表を手に入れました。

＜気体の温度と分子速度の関係の方は、統計力学（熱力学の基礎のようなものです）の専門書で学べます
　この質問は僕の先走りだったみたいです。
　もっと簡単な要素でシュミレーションしてから、改めて取り掛かります。

　ご回答有難うございました。

回答No.4

First_Noel

＞加速がし易くなるそうですが具体的な高度はどのくらいの高さですか。
＞計算する計算式があれば教えてください。

御質問の意図が分かりにくいのですが，大気密度の分布で言えば，
地上から指数関数的に現象します．大体高度１００ｋｍで地上の１０万分の１程度になります．
詳しくは理科年表に数値が載っています．

ロケットについて言えば，勿論空気抵抗を考えてうまく設計することが要となります．
その為に固体ロケットのＳＲＢを組み合わせたりすることもあります．
一言では言えませんが，最も効率良く加速されるようにロケットは設計されています．

＞地球上の空気を留めておける重力の大きさはどの程度ですか。
＞これも計算式があれば教えてください

また，惑星が大気をもつかどうかは，その惑星の地表面での温度による
気体粒子の速度分布の期待値が，その惑星の重力で引き留められるかどうか，で決まります．

蛇足までに「温度」とは熱力学的に説明すれば，
多数の気体粒子の運動状態を統計的に表現するパラメータで，
粒子が非常に沢山あって粒子同士の衝突が頻繁にあれば，
粒子の速度分布はマクスウェル分布となります．
マクスウェル分布の形はパラメータＴで決まり，このＴは我々の言う「温度」と一致します．
希薄になると衝突が頻繁ではなく運動量交換の頻度がぐっと下がりますので，
分布はずれてきます．

ざっとですが，ある温度Ｔでの気体粒子の一方向への運動エネルギーの期待値は
Ｔ＝（１／２）ｋＴ
です．この運動エネルギーが，惑星の重力ポテンシャルエネルギーより大きければ，
大気は惑星から去ってしまいます．逆に小さければ，
他天体の影響がなければ，幾ら希薄に広がろうとも，
その惑星は大気を持ちます．
重力ポテンシャルは，惑星質量をＭ，万有引力定数をＧ，惑星半径をＲとして，
Ｖ＝－ＧＭ／Ｒ
と表現されます．

そして，大気が惑星に残存する条件は，
Ｔ＋Ｖ＜０
となりましょう．
（実際の惑星モデルは知りませんので，上記は私の知識に基く推測です．）

お礼

ご回答有難うございます。
　教えてgooの回答様方はすっごく丁寧に教えてくださるのですごく助かります。
　でも、どうやら、僕の理解力をはるかに上回る質問をしたみたいで、理解がついて行きません。
　もうすこし、足場を固めてからこの問題に着手しようと思います。すいませんでした。

回答No.3

Teleskope

>>　＜外力さえなければ、どんなに小さな重力でも、とどめておけます。問題はむしろ太陽風をはじめとする外力でしょう。
　ということは、外力がなければ月にでも空気を留めておけるということになるんですね <<

　たとえ太陽風が無くても、重力の大きさと大気最外部の温度に依って確率的に失います。気体分子は温度に応じた速度で運動しており、平均より速いのも遅いのもあります。その高度における脱出速度より大きければ、去ります。　ランダム運動の衝突のたびに方向や速度が変わり、脱出速度未満なら楕円軌道になり、脱出速度以上を得たものは放物線や双曲線軌道で去ります。
　現実の地球でもそうなってまして、成層圏は、下の方は約-60℃で一定ですが、数十キロより高い層、いわゆるオゾン層では、オゾンが太陽光のエネルギの高い成分（紫外線）を吸収してくれて地上が安全なのはニュースなどで知ってますよね、そのためオゾン自身は高温です。そのさらに上の電離層は 名前の通りオゾン=酸素が電離してます。電離するほど高温なのです。そのさらに上の層で、上記の「脱出」が起きてます。軽い水素が主です。　もっとも、気体の密度がとても薄い（地上の 1/数百億 ）ので気にするほどでは無いですが。
　いっぽう、普通気付かないけど、彗星（雪）のかけらが地球に引かれて落ちる「水分補給」もしっかりあります。

お礼

＜たとえ太陽風が無くても、重力の大きさと大気最外部の温度に依って確率的に失います。
惑星が大気を保持するか否かは太陽風、惑星の質量、惑星の温度で決まると言うことですか？
太陽風を妨げる要素が惑星の磁場（他にもあるかも知れませんが）とするならば、惑星中心核の鉄の量、自転速度、恒星からの距離によって、決定するということでしょうか？
と考えるならば、地球より質量小さくとも、惑星の中心核に鉄を多く含み、高速で自転し、太陽から遠い惑星が存在するなら、原始地球型と同様の大気を持つ惑星が存在する可能性があるということでしょうか？
あと、回答者様の提示していただいた知識はどのような書物に記されているのでしょうか？
ご回答有難うございます。

回答No.2

matrsetra

＞地球上の空気を留めておける重力の大きさはどの程度ですか。これも計算式があれば教えてください

計算式は分かりませんが地球の引力は重心からの距離の二乗に反比例して弱まるそうです。
地球の半径分上昇すると引力は地表の1/4、四倍で1/16、八倍で1/64となり限りなく0に近づくが0にはならないということです。
例え宇宙のはてであっても地球の引力の影響はあることらしいです。
大気も引力と同じ事が言えだんだん薄くはなるが完全に0になることはないらしいです。
どこから宇宙でどこから地球の大気かはっきり分からないようです。

＞地球からロケットを打ち上げる時、ロケットの高度が上昇すれば空気の密度が薄くなり、加速がし易くなるそうですが具体的な高度はどのくらいの高さですか。

ロケットの場合は初めはまっすぐ垂直に上昇し低空の空気の濃い領域を速く抜け、しだいに傾けて水平方向の速度を得る様にします。100kmくらいになれば真空と変わりがないので人工衛星のフェアリングを分離してしまいます。

スペースシャトルの場合、打ち上げから約28秒後に機体にかかる最大動圧（空気抵抗）を抑えるため67%まで推力を絞ります。
空気が薄くなり空気抵抗が小さくなれば、加速し約60秒後に再び推力は104%に戻します。
ただし、スペースシャトルの場合、最大加速度は3G以下となっているため、燃料を使い果たして機体が軽くなり、3Gを越えそうになる前に推力は再び徐々に絞りこまれていきます。

お礼

＜しだいに傾けて水平方向の速度を得る様にします
どれくらいの高度からでしょうか？
＜空気の濃い領域を速く抜け
対流圏のことですか？
＜打ち上げから約28秒後に機体にかかる最大動圧（空気抵抗）を抑えるため67%まで推力を絞ります。
空気が薄くなり空気抵抗が小さくなれば、加速し約60秒後に再び推力は104%に戻します。
スペースシャトルの燃料の積載量から考えて、シャトルの初期の加速は小さいと考えられるので最初は液体燃料、固形燃料ともに使用し、（固形燃料は出力の調整が不能なので）機体の強度の問題から液体燃料の出力を抑え、空気抵抗が小さくなり、機体の負担が軽減してから最大加速に入るのでしょうか？
それとも、打ち上げから、28秒後に固形燃料を使い果たすように設計されているんでしょうか？
ご回答有難うございました。

回答No.1

SCNK

５０００ｍ上昇する毎に、気圧が半分になります。もちろん高ければ高いほど加速には有利でしょう。

外力さえなければ、どんなに小さな重力でも、とどめておけます。問題はむしろ太陽風をはじめとする外力でしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
＜外力さえなければ、どんなに小さな重力でも、とどめておけます。問題はむしろ太陽風をはじめとする外力でしょう。
　ということは、外力がなければ月にでも空気を留めておけるということになるんですね。主な外力とは太陽風だけですか？それとも、地球の自転や公転も大きな要素になるんですか？太陽風の強さは太陽からの距離によって輻射熱みたいに距離の距離の二乗に反比例するようなものですか？よければ教えてください。