非球面について

質問

非球面を作成する際に、偶数次のみの多項式によって作成する場合と、奇数次を含めた多項式で作成する場合ではどのような違いがあるのでしょうか。
どなたか教えてくださいませ。

回答No.1

dahho · ベストアンサー

質問が抽象的なので数学に関する質問と考えていいでしょうか？（回答者は物理系の人間なので以下の回答は数学的に厳密ではありません。）
最も簡単な非球面として2次元空間内の1次元曲線を考えるとして、デカルト座標系でx,y座標を取りy=f(x)をxの１価関数とすれば、関数f(x)は一般的にマクローリン展開することができて、f(x)はxの多項式で表されます。このとき、f(x)が偶関数（x=0に対して対称）なら偶数次のみの多項式になり、f(x)が奇関数（x=0に対して反対称）なら奇数次のみの多項式になり、f(x)がどちらでもなければ偶数と奇数の混じった多項式になると思います。

3次元空間内の2次元曲面でも同様です。質問の偶数次のみの多項式とそれ以外の場合と言う場合は、曲面が原点に対して対称かそうでないかという違いになります。

お礼

dahho様

ご回答ありがとうございます。

途中の式などは私にはわからないのですが、最後に非常にわかりやすいまとめをしてくださったので、イメージをつかむことができました。

ありがとうございました。