ドリンクを何個買えばおまけがすべて集まるでしょうか？

質問

ペットボトルのドリンクにおまけでついてくる、ボトルキャップを集めたいと思っています。
全16種類あり、すべて集めたいのですが買う前に「だいたいドリンクを○○個買えば16種類そろうだろう」という検討をつけたいです。
高校の時に計算方法を習ったような気がするんですが、すっかり忘れてしまいました。
どなたか計算方法を教えてもらえないでしょうか？
ボトルキャップは開封しないと中身が分からないようになっているタイプのものです。

回答No.1

oshikatta · ベストアンサー

最初に１つペットボトルを買うと１つ手に入ります。２個目は、すでに持っているキャップと違うものが手に入る確率は15/16なので、２つめが手にはいるまでの期待購入数は16/15。３個目も同様に考えて期待購入数は16/14・・・
したがって、すべてを手に入れるまでの期待購入数は
16/16+16/15+16/14+・・・16/1=16(1/1+1/2+1/3+・・・1/15+1/16)となります。これを計算すると約５４となり、平均５４本買えばすべて手にはいることになります。
ただ、これは１６種類のキャップがすべて同じ確率で入っているときのものとなります。

お礼

＞ただ、これは１６種類のキャップがすべて同じ確率で入っているときのものとなります。

そうですよね。シークレットという種類がひとつあるのでそれは出てくる確率が低いかもしれないですね。
でもとても参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

mas357

計算方法は分かりませんが、
パソコンを使って、モンテカルロ法ぽく、何個かえば
１６個集まるか１０００回やって平均を求めたら、平均５４回で集まりました。補償はできませんが・・。

お礼

同じ割合で入っていると仮定してやっぱり５４個になるみたいですね。
モンテカルロ法というのは初めて知りましたが、勉強になりました。ありがとうございます。