日本の行政に対する直接請求を行うわけですから、
日本語を求められるといういわば慣習法で・・・。
というのが、根拠といえばそうなのかもしれません。
例えば、外国人登録記載事項証明書のように、
明らかに日本語筆記を困難とする要素が
ある場合、課税証明書も外国人登録を
有する者には発行されますので、
そうした事例には便宜を図って
もらえるかもしれません。
(直接担当ではないので、自信を持って
お答えできません。ごめんなさい。)
ただ、戸籍に関する届書について
下記にもありました、「出生届」についてなど、
母国語で記載されることは構いません。
(自治体によって扱いは異なるかもしれませんが
私のところではそうです。)
ただし、日本語のカタカナ表記ではどのように
書けばいいのかを聴取して、聞き取った通りに
届書にある「その他欄」にカタカナ表記を
記載します。つまり
「子の名は(~外国名のカタカナ表記~)が正当」
と補記して、届書を受理しています。
婚姻届も離婚届も同様です。
特に戸籍に記載される人については
生年月日の西暦表記ですら補記して届書を
訂正しています。
(日本人でもよく西暦表記をしていますが・・・)
ですから、戸籍についてはNo.2さんが
仰る通りを遵守するのが原則なんです。
戸籍の構成員になるということは日本人という
ことは前提ですよね・・・。
そして、住民票についてなのですが、
住民票に載る人というのは、戸籍に載っている
人でなければならないわけです。
ですから、住民票の記述内容は戸籍に
準じていなければなりません。
特定個人の住民票を請求する際、韓国名で
あることは当然ありえないですよね。
そして、正しくその特定個人を表記しなければ
住民票請求の届書には原則としてなりません。
その点から考えると、韓国語の届書は
受理すべきではないという考えになると
思います。当然補記されるか、訳文を
つけてもらうかという対処になると思いますが、
これも、自治体の裁量が絡む事項でも
ありますので、きちんと該当される役所とも
確認をとってください。
ただし、戸籍の場合はどこも同じだと思いますが、
届出人が外国人である事例は認めていますので、
届出人氏名が母国語なのは構わないかと思います。
(私のところでは現にそうです。)
住民票の届書も家族が外国人である混合世帯が
ありえるわけですから、この場合の届出人氏名に
ついては母国語表記が認められるのではないかと
思います。