数値計算？？

質問

f(x)=x-cosx=0
の解を求めるプログラムを教えて下さい。
ニュートン法と逐次代入法で
初期値は0.5、収束判定は10の-10乗
と先生が言ってたのですが
全くわかりません。
お願いします。

回答No.2

BLUEPIXY · ベストアンサー

参考までにＣで作ってみました。
/* f(x)=x-cosx=0 の解をx=0.5から始めてe=10^(-10)の範囲で求める */
/* ニュートン法:
f'(x)=1+sinx
点(a,b)を通り傾き1+sinaの直線は
y-b=(x-a)(1+sina)
x軸との交わる時のxは
x=-b/(1+sina)+a
*/
#include <stdio.h>
#include <math.h>

void main(void){
double xold,xnew,e;
unsigned c=0;

e=pow(10,-10);
xnew=0.5;
do{
c++;
xold=xnew;
xnew=(cos(xold)-xold)/(1.0+sin(xold))+xold;
}while(fabs(xnew-xold)>e);
printf("繰り返し数(%u):x=%#12.11g,e=%#g\n",c,xnew,e);
}
/* f(x)=x-cosx=0 の解をx=0.5から始めてe=10^(-10)の範囲で求める */
/* 逐次代入法 */
#include <stdio.h>
#include <math.h>

void main(void){
double xold,xnew,e;
unsigned c=0;

e=pow(10,-10);
xnew=0.5;
do{
c++;
xold=xnew;
xnew=cos(xold);
}while(fabs(xnew-xold)>e);
printf("繰り返し数(%u):x=%#12.11g,e=%#g\n",c,xnew,e);
}
このプログラムでは、ニュートン法が１０倍以上速いことがわかりますね。

お礼

２通りの方法、両方教えて下さり有難うございました。
感動しました。

回答No.1

BLUEPIXY

私、ｊａｖａのプログラムは、よくわかりませんので、
ニュートン法と逐次代入法について
ニュートン法は、
あるｘについてｆ（ｘ）を微分することで、接線の導きコレが０になるｘ（点）（ｙ＝０と交わるｘ（点）を）を求めて、これを次のｘとして同じ手順をくりかえす方法です。
逐次代入法は、
ｙ＝ｘとｙ＝ｃｏｓｘのグラフを描いてみると
ｆ（ｘ）＝ｘ－ｃｏｓｘ＝０となる部分というのは、
ｙ＝ｘとｙ＝ｃｏｓｘの交わるところだとわかります。
ｘ＝０．５から始めて、
ｃｏｓｘの結果をｙとして、ｙ＝ｘのｘを求めます。
そこで、求まったｘをまたｃｏｓｘしてと順繰り代入していくと、
グラフ上ぐるぐる回って逐次収束します。（収束しないかもしれません、それは、調べてみないとね）
ほとんど、数値計算ばかりなので、
プログラム的には、何で書いてもそれほど難しくはないと思います。

お礼

ありがとうございます！