変数変換の二重積分

質問

行き詰まってしまって・・・・
∬_R^2 e^(-x^2-xy-y^2) dxdy=2/√3^^Π
を示せという問題です-xyさえなければ簡単に解けるのですが・・・混乱してわからなくなってます
どうかよろしくお願いします

回答No.3

noname#175206 · ベストアンサー

#1 gonicさんが素っ気無く仰っておられるのは、

>x = (1/√3)X + Y
>y = (1/√3)X - Y

という変数変換をしてみてはどうですか、ということでしょう。-x^2-xy-y^2 に上記の変数変換をしてみれば、あれっというほど簡単な式になりますよ。
　「-xyさえなければ簡単に解けるのですが」ということなんですよね。実際に手を動かして、計算を試みてください。

　そして、#2 ringohatimituさんは「#1のような変数変換をしないやり方もありますよ。」と仰っておられるのです。

お礼

なるほど・・・・わかりました～やってみます！ありがとうございました！

回答No.2

ringohatimitu

変数変換しなくても
-x^2 - xy -y^2 = -(x + y/2)^2 - (3/4)y^2
なので累次積分で
∬e^(-x^2-xy-y^2)dxdy=∫(∫e^{-(x+y/2)^2} dx)e^{-3/4y^2}dy=√π 2/√3 √π=2/√3 π
が分かります。

お礼

そういう考え方もあるんですね＾＾；ありがとうございます

回答No.1

gonic

x = (1/√3)X + Y
y = (1/√3)X - Y

補足

申し訳ありませんこれはいったいどういう意味なのでしょうか？