線形代数学の質問

質問

n次実対称行列A,Bが重複度までこめて等しい固有値をもつならば、AとBは相似であることを示せ
という問題がわかりません。教えていただきたいです。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

実対称行列は対角化可能なので、とある対角行列と相似。
行列の相似関係は同値関係なので、よって「重複度までこめて等しい固有値をもつ」対角行列、つまり対角成分が並び換えると同一になる対角行列同士が相似であることを示せば良い。

ここで、ここ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%A4%89%E5%BD%A2
に書いてある行列の基本変形を表す行列の内、P[i,j]を左からかけるとi 行と j 行が交換され、右からかけるとi「列」とj「列」が入れ替わること、P[i,j]の逆行列はやぱりP[i,j]であることに注意すると、対角行列Dに対し、(P[i,j])^{-1} D P[i,j]を計算すると、Dの(i,i)成分と(j,j)成分が入れ替わることに注意。
これによって対角成分が並び換えると同一になる対角行列同士が相似であることを示せ。