二次曲線

質問

座標平面上の点（x,y）に対し、Q(X,Y)はP（x,y）が原点の周りに135度回転した点とする。
①X,Yをそれぞれx、yで現せ。
②点P（x,y）が√2（x+y）=xyを満たしながら動く時、Q（X,Y）の軌跡の方程式を求め、座標平面上に図示せよ。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

(1)
X = x cos135 - y sin135
Y = x sin135 + y cos135
というのはいいのだけれど、三角関数の値が違っているようです。
X = - (x + y )/√2
Y = (x - y)/√2
(2)
√2（x+y）=xy
を少し変形すると
(x-√2)(y-√2)=2
となって、中心が(√2,√2)の反比例のグラフ(直角双曲線)になることが簡単にわかる。頂点は(0,0)と(2√2,2√2)です。
135度回転しても双曲線であることは同じです。中心は(-2,0)になって、中心と頂点の距離は変わらずに2ですから、双曲線の式は
(X+2)^2/4+Y^2/4=1
です。

回答No.1

CygnusX1

(1)
X = x cos135 - y sin135 = - √2 (x + y)
Y = x sin135 + y cos135 = √2 (x - y)

(2)
X + Y = - 2 √2 y
y = (X + Y) / (- 2 √2)
X - Y = - 2 √2 x
x = (X - Y) / (- 2 √2)

これを √2 (x + y) = x y に代入する
√2 ((X - Y) / (- 2 √2) + (X + Y) / (- 2 √2))
= (X - Y) (X + Y) / 8
- X / 2 = X^2 / 8 - Y^2 / 8
X^2 + 4 X - Y^2 = 0
(X + 2)^2 - 4 - Y^2 = 0
(X + 2)^2 - Y^2 = 4
(X + 2)^2 / 4 - Y^2 / 4 = 1

双極線のグラフになります。
図示はご自分でどうぞ。