Σ(y_i - ybar)^2

質問

Σ(y_i - ybar)^2 = Σ(y_i - yhat_i)^2 + Σ(yhat_i - ybar)^2
になることを証明して下さい。

今、「統計学入門」という本を読んでいます。
添付画像をご覧ください。

まず、
y_i - ybar = (y_i - yhat_i) + (yhat_i - ybar_i)
は理解しています。
右辺の括弧を取れば、
y_i - yhat_i + yhat_i - ybar_i
となり、
- yhat_i + yhat_i
は相殺されて±0なので
y_i - ybar
になります。

しかし！
Σ(y_i - ybar)^2 = Σ(y_i - yhat_i)^2 + Σ(yhat_i - ybar)^2
は話が違います。
2乗されているので±0でyhat_iが消えません。
yhat_iが介入すると滅茶苦茶になります。

左辺を展開してみます：
Σ(y_i - ybar)^2
= Σ(y_i^2 - 2 y_i ybar + ybar^2)
= Σy_i^2 - 2 Σ(y_i ybar) + Σybar^2

右辺を展開してみます：
Σ(y_i - yhat_i)^2 + Σ(yhat_i - ybar)^2
= Σ(y_i^2 - 2 y_i yhat_i + yhat_i^2) + Σ(yhat_i^2 - 2 yhat_i ybar + ybar^2)
= Σy_i^2 - 2 Σ(y_i yhat_i) + Σyhat_i^2 + Σyhat_i^2 - 2 Σ(yhat_i ybar) + Σybar^2
= Σy_i^2 - 2 Σ(y_i yhat_i) + 2 Σyhat_i^2 - 2 Σ(yhat_i ybar) + Σybar^2

・・・というように、何のまとまりも無い式になりました。

左辺と右辺を比較すると、違いは：
- 2 Σ(yhat_i ybar) = - 2 Σ(y_i yhat_i) + 2 Σyhat_i^2 - 2 Σ(yhat_i ybar)
ということですかね？

計算してみます：
- 2 Σ(yhat_i ybar) = - 2 Σ(y_i yhat_i) + 2 Σyhat_i^2 - 2 Σ(yhat_i ybar)
両辺を-2で割る
Σ(yhat_i ybar) = Σ(y_i yhat_i) - Σyhat_i^2 + Σ(yhat_i ybar)
両辺からΣ(yhat_i ybar)を引く
0 = Σ(y_i yhat_i) - Σyhat_i^2
Σでまとめてみる
0 = Σ(y_i yhat_i - yhat_i^2)
yhat_iで括ってみる
0 = Σ{yhat_i(y_i - yhat_i)}

・・・これはゼロになりますかね？
（というか、まず、ここまでの計算は合っていますかね？）

実は、その上に書かれているΣの式の結果をまったく使ってないんですよね…この式との関連性が全然分からないです。

ということで、どうか表題の式を証明して下さい。

回答No.3

f272 · ベストアンサー

正確に言えば
{(yi)-(y)b}^2 = 【{(yi)-(yi)h} + {(yi)h-(y)b}】^2
= {(yi)-(yi)h}^2 + 2*{(yi)-(yi)h}*{(yi)h-(y)b} + {(yi)-(y)b}^2.
の右辺第二項=0ではなくてΣ(右辺第二項)=0ですね。個々の{(yi)-(yi)h}*{(yi)h-(y)b}は0であるとは限りません。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、各々は差が出ていても、トータルすると0になるんですね。
こんな仕組み、誰が考えたのかと…。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

gamma1854

投稿内容に一部打ちミスがあり、おわかりとは思いますが以下のようになおします。
{(yi)-(y)b}^2 = 【{(yi)-(yi)h} + {(yi)h-(y)b}】^2
= {(yi)-(yi)h}^2 + 2*{(yi)-(yi)h}*{(yi)h-(y)b} + {(yi)-(y)b}^2.

お礼

なるほど、上に出てきたΣ(yh_i - yb)(y_i - yh_i)=0の結果を使うために、あの組み合わせはわざと展開せずに計算するんですね。納得です。

チップはベストアンサー並みに差し上げます。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

gamma1854

({(yi)-(yb)}^2 = 【{(yi)-(yi)h} + {(yi)h-(yi)b}】^2
={(yi)-(yi)h}^2 + 2*{(yi)-(yi)h}*{(yi)h-(yi)b} + {(yi)h-(yi)b}^2.
であり、右辺第二項=0 ゆえ、テキストのようになります。