良い所に気付かれましたね。
以下、易しさを優先して説明しますので、科学的な厳密さに欠けることをお許し下さい。
ゴムには目に見えない小さな隙間があって、ゆっくりと気体を通します。空気は気体ですし、水も蒸発すれば気体になります。
そして、膜（ここで言うと風船のゴムのことですが、ゴムの膜に限った話ではありません）の両側の成分に差がある（どちらか片側が濃い）場合には、その差を縮めようとする力が働いて、物質の移動が起こります。
（例として適切かどうか分かりませんが、塩蔵ワカメの濃い塩分が塩分の薄い水の方に溶けて（移動して）いき、"塩抜き" ができるのと同じ原理です。）
ここでご質問の状況を考えてみると、ゴム風船の内側も外側も空気という同じもので満たされています。だから風船の中から外に向かってどんどん空気が抜けていくことはありません(注)。一方で水蒸気の濃さを考えてみると、風船の内側は "もうこれ以上は水が蒸発できない" という目一杯濃い状態ですが、外側は "まだ余裕がある" 状態です。（仮に外の空気が "もうこれ以上は水が蒸発できない" という状態だったら、洗濯物は乾きません。）従って、水蒸気の濃さが濃い内側から、水蒸気の濃さが薄い外側に向かって水蒸気がゆっくりと移動して行くのです。
これが御質問の現象を生んだ理由です。
(注) 内側と外側は同じ空気なので空気は抜けないと説明しましたが、買った時には内側の空気の方が少し濃い（圧力が高くて風船が膨らんでいる）ので、少し空気が抜けて、今は外と中の圧力が同じくらいになっているはずです。買った時のように風船がパンパンに膨れてはいないでしょう。
このようなお子様の気付き・興味、大切にしてあげて下さい。（こうやって質問を出されているので、大切にされていることは分かっていますが。）
私は、小学校の理科でやった "デンプンにヨウ素液を入れると紫色になる-加熱すると色が消える-冷やすとまた紫に戻る" の現象に魅せられて化学の道に進みました。子供の頃のふとした興味が人生を左右することもあるんだなと、今更ながらに感じています。
お礼
ありがとうございます！！！！ 子供の「何で？」にドキッとさせられますが、そんな事気付いて凄いねーって毎回尊敬しています。そして私も色々と新しい事を知ることができ感謝でいっぱいです。これからも子供のなんで？を大切に子育て楽しみます。 ありがとうございました。