整数倍の整数の範囲

質問

10進法で表された小数α(0<α<1)をk進法の小数になおすということは、整数k(k≧2)に対して
α=a1/k+a2/k^2+a3/k^3+・・・+an/k^n+・・・・(有限または無限)　
0≦an<k (n=1,2,3・・・)が成立するように各整数anをきめることであり、これをα=0.a1a2a3・・・an・・・と表す。また循環小数の場合は10進法と同様に、
α=0.a1a2a3a1a2a3・・・をα=(・)a1a2(・)a3で表すことにします。このとき次の問に答えよ。
10進法で表された小数β(0<β<1)は、p進法では0.(・)c1(・)c2と表され、(p+2)進法では0.(・)c2と表される。またc2はc1の倍数である。このとき、βを10進法で求めよ。
条件よりc1とc2はp進法の数字だから、c1,c2=0,1,2,・・・,p-1　・・・(1) 途中を省略して、条件よりc2はc1の倍数だから、c2=kc1 (kは整数)・・・(2) とおくと、ここがわからない所です。条件(1)より0<k<p・・・(3)となる。自分はc1は1,2,3・・・p-1かつc2=0のとき、kは0でもよいと思ってしまいました。またc1=0かつc2=0のとき、kはどんな数でもよいと考えました。また(p+2)進法では0.(・)c2よりc2は0をとれないとしても、c1が0のときkの値がわかりません。どなたか0<k<pとなる理由をおしえてくださいお願いします。ちなみにβ=2/5です。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

c2=0と仮定すると
0<βに矛盾するから
c2>0
c1=0と仮定すると
c2はc1の倍数だから
c2=0となってc2>0に矛盾するから
c1>0
c2>0
c2=kc1
だから
k>0

お礼

分かりやすい説明、ありがとうございます。