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積分が微分の逆演算であるということを知るための勉強
どういう勉強をしたらよいでしょうか。できれば（ｆ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ））/ｈの逆演算を中心にお願いできればと思います。
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質問者が選んだベストアンサー
kaitara1 さんは、また意図が不明の質問をしていますね。 積分が微分の逆演算であるのはなぜか？ という質問をせずに、 逆演算であることを理解するための勉強方法 を質問する。ということは、 kaitara1さんは、逆演算であることがわかっているが、他の誰かに説明することがうまくできないので、説明するための方法を知りたいのですか？ であるなら、滑らかな曲線の積分を区分求積で求め、これの微分を （ｆ（ｘ+ｈ）-ｆ（ｘ））/ｈ の式で求めることを考えると理解できます。 とは言え、他の回答者も書いているように、そういう場合もあるというだけです。実際、微分可能でない関数が多数ありますから、積分した結果微分可能でない関数になったような場合は、そもそも逆演算自体ができないわけです。
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＞三角関数の微分積分も不思議な感じがしています。 微分と積分はメビウスの帯の表と裏の関係にあり、本当に不思議です。
お礼
メビウスの帯に関しては全く私の理解力は及びません。
表と裏
メービウスの帯
【掛け算】と【割り算】は相反する演算です。
【足し算】と【減算】は相反する演算です。
- Mathmi
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演算子法※がなぜ成り立つか、という質問でしょうか？ ※f(x)dx=F(x)⇔f(x)=F(x)/dxのように、微積分演算子を移行して式を変形する計算方法。の筈。 単純に、微分という演算と積分という演算を比べた場合、逆演算にはならないと思います。 f(x)の微分はf'(x)ですが、f'(x)の積分はf(x)にはならないからです。 積分だけでは、積分定数Cが求まりませんから。
- tmppassenger
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「たまたま」というのはそのままの意味で、『ある条件』（というのは扱っている関数が「きれいな」時）は、微分と積分がたまたま逆演算になる、という意味です（さっきと変わってないですが）。それが「本質的」かどうか、という点については回答しないでおきます。
- tmppassenger
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歴史的に見ても、現代の微分、積分の定義や方法論からしても、積分は微分の逆演算ではない（微分の逆演算として定義されてはいない）のです。凄く雑に言うと、積分は「面積や体積を求める」、微分は「傾き（変化率）を求める」ということで、紀元前から、歴史的にも2つの学問は長らく別々に発展してきたのです。 『ある条件の時には』微分と積分が（たまたま）逆演算の結果になるというのは、NewtonやLeibnizが17世紀になって発見したもので、「微分積分学の基本定理」と呼ばれていますので、調べてみるとよいでしょう。
お礼
たまたまというのは本質的ではないということでしょうか。それとも逆演算であることが偶然発見されたということでしょうか。基本定理を勉強することですね。
お礼
数学にあこがれているだけ、あるいは片思いだけなので、恐縮しています。ご教示を少しでも理解できればと思うばかりです。