微分方程式の問題です

質問

関数y=y(x)が微分方程式
y’’=y^3+y を満たすとき、初期条件のもとで解くとどうなりますか？
(初期条件y(0)=1, y’(0)=√2)

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

y(0)=1
y'(0)=√2
y"=y^3+y
y"=y(y^2+1)
↓両辺に2y'をかけると
2y'y"=2y'y(y^2+1)
↓{(y')^2}'=2y'y"
↓(y^2+1)'=2y'y
↓だから
{(y')^2}'=(y^2+1)(y^2+1)'
↓両辺に2をかけると
{2(y')^2}'=2(y^2+1)(y^2+1)'
↓{(y^2+1)^2}'=2(y^2+1)(y^2+1)'だから
{2(y')^2}'={(y^2+1)^2}'
↓両辺を積分すると(積分定数をcとする)
2(y')^2=(y^2+1)^2+c
↓これにx=0を代入すると
2{y'(0)}^2=[{y(0)}^2+1]^2+c
↓y'(0)=√2
↓y(0)=1だから
2{√2}^2=[{1)}^2+1]^2+c
4=4+c
↓両辺から4を引くと
0=c
↓これを
↓2(y')^2=(y^2+1)^2+c
↓に代入すると
2(y')^2=(y^2+1)^2
↓両辺を2で割ると
(y')^2={(y^2+1)^2}/2
↓両辺を(1/2)乗すると(k=±1とする)
y'=k(y^2+1)/√2
↓x=0を代入すると
y'(0)=k[{y(0)}^2+1]/√2
↓y'(0)=√2
↓y(0)=1だから
√2=k[{1}^2+1]/√2
√2=k√2
↓両辺を√2で割ると
1=k
↓これをy'=k(y^2+1)/√2
↓に代入すると
y'=(y^2+1)/√2
↓両辺を(y^2+1)で割ると
{1/(y^2+1)}y'=1/√2
↓両辺を積分すると(積分定数をCとする)
∫{1/(y^2+1)}dy=(x/√2)+C
↓y=tantとすると
↓dy={1/(cost)^2}dt
↓1/(1+y^2)=(cost)^2
↓だから
∫dt=(x/√2)+C
t=(x/√2)+C
↓これをy=tantに代入すると
y=tan{(x/√2)+C}
y={tanC+tan(x/√2)}/{1-(tanC)tan(x/√2)}
↓x=0を代入すると
y(0)=tanC
↓y(0)=1だから
1=tanC
だからこれを
y={tanC+tan(x/√2)}/{1-(tanC)tan(x/√2)}
に代入すると
∴
y={1+tan(x/√2)}/{1-tan(x/√2)}

回答No.3

gamma1854

(与式) ⇔ {(y')^2}'={(1/2)y^4+y^2}' ですから、
(y')^2=(1/2)y^4+y^2+C/2.
初期条件より、C=1 ですから、y'=(±1/√2)*(y^2+1).
変数が分離できています。

回答No.1

EH1026TOYO

他のQ&Aでも全く同じ質問をしてる様だが・・、
そちらで既に解答が出てるだろ・・!?