解説をお願いします

質問

この問題の(2)・(3)・(4)・(5)・(6)の解説をお願いします。何が何だかさっぱり・・・。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

YはXのポアソン近似だから
Yはポアソン分布に従う
P(Y=k)=e^{-λ}λ^k/k! , k=0,1,2,…
の時Yはポアソン分布に従うという
eは自然対数の底(ネイピア数)といって
e=lim_{n→∞}(1+1/n)^n
又は
e=Σ_{n=0～∞}1/n!
で定義され
lim_{n→∞}(1+a/n)^n=e^a
e^a=Σ_{n=0～∞}(a^n)/n!
が成り立つ

(2)
YはXのポアソン近似だから
P(Y=0)=e^{-λ}λ^0/0!=e^{-λ}

lim_{n→∞}(1+a/n)^n=e^a
より,nが大きいとき
(1+a/n)^n≒e^a
と近似できる

P(X=0)
=(999/1000)^1000
=(1-1/1000)^1000
↓n=1000,a=-1とすると(1+a/n)^n≒e^aだから
≒e^(-1)
↓e^{-λ}=P(Y=0)≒P(X=0)≒e^{-1}だから
λ=1
P(Y=0)=e^(-1)

(3)
Yはポアソン近似だから
P(Y=k)=e^{-λ}λ^k/k!
(2)からλ=1だから
P(Y=k)=e^{-1}/k!

(4)
E(Y)
=Σ_{k=0～∞}kP(Y=k)
↓P(Y=k)=e^{-1}/k!だから
=Σ_{k=0～∞}ke^{-1}/k!
=Σ_{k=1～∞}e^{-1}/(k-1)!
=e^{-1}Σ_{k=1～∞}{1/(k-1)!}
=e^{-1}Σ_{k=0～∞}(1/k!)
↓e=Σ_{k=0～∞}(1/k!)だから
=e^{-1}e
=1

(5)
E{Y(Y-1)}
=Σ_{k=0～∞}k(k-1)P(Y=k)
↓P(Y=k)=e^{-1}/k!だから
=Σ_{k=0～∞}k(k-1)e^{-1}/k!
=Σ_{k=2～∞}e^{-1}/(k-2)!
=e^{-1}Σ_{k=2～∞}{1/(k-2)!}
=e^{-1}Σ_{k=0～∞}(1/k!)
↓e=Σ_{k=0～∞}(1/k!)だから
=e^{-1}e
=1

よって

V(Y)
=E(Y^2)-(E(Y))^2
=E(Y^2-Y+Y)-(E(Y))^2
=E(Y^2-Y)+E(Y)-(E(Y))^2
=E(Y(Y-1))+E(Y)-(E(Y))^2
=1+1-1^2
=1

(6)
E(3^Y)
=Σ_{k=0～∞}(3^k)P(Y=k)
↓P(Y=k)=e^{-1}/k!だから
=Σ_{k=0～∞}(3^k)e^{-1}/k!
=e^{-1}Σ_{k=0～∞}(3^k)/k!
↓e^3=Σ_{k=0～∞}(3^k)/k!だから
=e^{-1}e^3
=e^2