モーメント母関数は、なぜexp(tX)なのか？

質問

なぜexpなのか、そしてtはどこから来たのかについて、教えてください。

確率変数を関数化（一般化）するという思想までは自然に理解できるのですが、その関数は何故tanでもlnでもなく、expなのでしょうか？

回答No.4

ask-it-aurora · ベストアンサー

> 指数型の母関数を使うことで、平均や分散が導出できるというのは、「偶然」発見されたということでしょうか？
母関数を知っていれば平均（＝一次モーメント）E[X]が導出できるのは明らかで、分散もよくある表示V[X] = E[X^2] - E[X]^2さえ知っていれば導出できるのは明らかです。

歴史的なことは詳しく知りませんが、おそらく
（1） 平均や分散が確率変数を要約する自然な量として着目される
（2）〈高次〉の量としてモーメントE[X^n]が着目される（上の表示を念頭に）
（3） 高次モーメントをまとめて扱うために母関数が導入される
という発展があったのではないかと推測します。つまり母関数から平均や分散が導出できるのは「発見」されたのではなく、そうなるべく定義されたのだろうということです。また指数型であることの必然性はないと書きましたが、これはモーメントの導出に関してのみで、（僕の知らない、あるいは見逃している）他の定理や応用などとの整合性に関しては母関数の型に優劣があるかもしれません。

指数型が確率論における標準的な積率母関数として定着していることには歴史的な「偶然」があるのかもしれませんが、単純さと美しさからその蓋然性は高かっただろうと思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

ask-it-aurora

> Σ a(n) t^n/n!の形である必然性は何ですか？
必然性はありません。（だからこそ色んな形の母関数があります。）なんならその形の母関数でも似たようなことはできます。ただし実際に手を動かして数列を取り出してみればわかりますが、その場合には最後にn!で割って補正をしなくてはなりません。それくらい別に構わないというのであれば、それでよいですし、毎回同じような補正をすることを厭うなら、あらかじめ係数を補正しておけばよいのです。

お礼

ありがとうございます。

補足

指数型の母関数を使うことで、平均や分散が導出できるというのは、「偶然」発見されたということでしょうか？

回答No.2

ask-it-aurora

> テーラー展開と何か関係があるのでしょうか？
ほとんど繰り返しになりますが、モーメントの母関数だということから
Σ E[X^n]t^n/n! = E[ Σ (tX)^n/n!] = E[exp(tX)]
という変形によって自然と（tanでもlnでもなく）expが現れる訳です。ここでふたつ目の等号では指数関数のテイラー展開を使っています。

お礼

ありがとうございます。

補足

Σ a(n) t^n/n!

の形である必然性は何ですか？

母関数を、Σa(n)z^nで定義するところまでは、（深い意味まではわからないけど）納得できます。なぜ指数型なのですか？その必然性がわかりません。

回答No.1

ask-it-aurora

モーメント母関数（MGF）、あるいは積率母関数とは読んで字のごとくモーメントの母関数です。

ではそもそも母関数とは何か？比喩的な表現をすると
「数列を掛けて陳列するための物干し竿」
です（参考URL）。数学的には数列 { a(n) } に対して
g(t) = Σ a(n) t^n/n!
の形をした関数（ただし和は n ≧ 0 についてとる）のことを（指数的）母関数といいます。すると数列の第n項 a(n) は母関数 g(t) の第n階導関数の原点における値 d^ng/dx^n(0) として必要に応じていつでも取り出せるので、数列の各項なんかは忘れてしまって母関数さえ覚えておけばよい訳です。（これが母関数が数列の母なる関数である理由。）変数 t は数を掛けるための〈フック〉に過ぎません。これはある種のトリックで、これにより問題を系統的に扱うことができるようになることが多いです。

さて数列として確率変数 X のべき { X^n } を代入してみると
exp(tX) = Σ (tX)^n/n!
となっていることに気がつきます。ここで両辺の期待値をとれば線型性より
E[exp(tX)] = Σ E[X^n]t^n/n!
となりモーメント E[X^n] の母関数 E[exp(tX)] を得ることができます。

自然な発想に感じられるように長々と書いてみましたが、いかがでしょうか。

参考URL：

https://proofwiki.org/wiki/Definition:Generating_Function#Quote

お礼

ありがとうございます。

補足

テーラー展開と何か関係があるのでしょうか？
なんとなく、式が似ているような気がするのですが？