完全微分方程式の完全微分形の利用の箇所の疑問点

質問

完全微分方程式の解法において完全微分形を利用して説明があるのですが、
途中に分からない箇所があり質問をします。
(?)-1、(?)-2の二箇所です。画像添付を見てください。

回答No.10

178-tall

arctan(z) の例。
　　↓ inverse tangent / 式 (1) 参照
参考 URL

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html

回答No.9

178-tall

ANo.3 ～ 8 は書き散らが過ぎしてました。
誤算が少なそうなのは、下記 2 件。
打率 3 割？ (野球じゃないヨ。蒙御免)

dF/du = 1/(u^2+1)
　= {1/(u+i) - 1/(u-i)}*i/2 → F = －arccot(u)　　… ANo.6
　= {1/(1+iu) + 1/(1-iu)}/2 → F = arctan(u)　　　… ANo.8

回答No.8

178-tall

度々々… 蒙御免。

Q. dy/du = 1/(u^2+1) なる y は？

　1/(u^2+1) = {1/(1+iu) + 1/(1-iu)}/2　　…(1)
と「和分解」して積分。
　∫du/(1+iu) = LN(1+iu)
　∫du/(1-iu) = -LN(1-iu)
らしいから、(1) 右辺の積分は、
　LN{ (1+iu)/(1-iu) }/2

(1±iu) = √(u^2+1)*exp(1±iu) だから、
　{ LN[(1+iu)/(1-iu)] }/2 = arg(1+iu) = arctan(u)
を得る。
… …

回答No.7

178-tall

度々、蒙御免。ANo.6 の蛇足的釈明には、1/(u^2+1) の「和分解」の末尾に *i/2 なる複素乗数があり、その後の推論を無効にしていた。
以下、改めまして…。

　1/(u^2+1) = {1/(1+iu) - 1/(1-iu)}/2
と「和分解」して積分。
　{ LN[(1+iu)/(1-iu)] }/2

arg(1+iu) = θ とすると、
　θ= arctan(u)
さらに、
　(1±iu) = √(u^2+1)*exp(1±iu)
だから、
　{ LN[(1+iu)/(1-iu)] }/2 = θ　　…(1)
を得る。
つまり、積分結果の式 (1) は、
　θ= arctan(u)

これが逆三角関数の微分公式、
　y = arctan(u) → dy/du = 1/(u^2+1)
に相当。

回答No.6

178-tall

ANo.3～5 に、ややあいまいさ、あり。蛇足に手短かな釈明だけ…。

Q. dy/du = 1/(u^2+1) なる y は？

　1/(u^2+1) = {1/(u+i) - 1/(u-i)}*i/2
であり、右辺を積分して、
　{ LN[(u+i)/(u-i)] }*i/2　　…(1)
(1) にて、
　(u+i)/(u-i) = exp(i2θ) ； θ= arctan(1/u)
なので、(1) から、
　(i2θ)*(i/2) = -arctan(1/u) = -arccot(u)　…(2)
を得る。

これが、逆三角関数の微分公式、
　y = arccot(u) → dy/du = -1/(u^2+1)
に相当。

回答No.5

178-tall

「複素勘定」の紛らわしい錯誤に補足でも…。

　1/(u^2+1) = { 1/(u+i) - 1/(u-i) }*i/2
を積分して、
　{ LN(u+i) - LN(u-i) }*i/2
　= LN[ (u+i)/(u-i) }*i/2
　= i*arg(u+i) = (π/2) + arctan(1/u) = arctan(u)

… かな？

回答No.4

178-tall

末尾を訂正。

　1/(u^2+1) = { 1/(u+i) - 1/(u-i) }*i/2
を積分して、
　{ LN(u+i) - LN(u-i) }*i/2 = LN{exp(i2θ)}*i/2 = θ
　　ただしθ= arg(u+i) = arctan(u)
　∴ y = arctan(u)

回答No.3

178-tall

(?)-1 は単なる「両辺を 2 倍」ですネ。

(?)-2
　↓
手っ取り早いのは、「微分公式」 y = arctan(u) → dy/du = 1/(u^2+1) の借用。

dy/du = 1/(u^2+1) では「分母整式」の零点が虚数なので「複素勘定」する手もアリ。
　1/(u^2+1) = { 1/(u+i) - 1/(u-i) }*i/2
を積分して、
　{ LN(u+i) - LN(u-i) }*i/2 = LN{exp(i2θ)}*i/2 = θ
　　ただしθ= arg(u+i) = arctan(u)
　∴ u = arctan(u)

回答No.2

f272

cを定数とすればc*dx=d(cx)ということはわかりますか？
d(cx)/dx=cですから簡単だと思うけど，定数は微分の中と外を自由に行き来できます。

(1)
左辺を2倍すれば2d(y/x)/(1+(2y/x)^2)になる。そこで上でいったことを使えば2d(y/x)=d(2y/x)だから結局d(2y/x)/(1+(2y/x)^2)です。
右辺を2倍すれば2dxですね。
(2)
左辺で2y/x=zとでも文字を置き換えるとdz/(1+z^2)になるけど，あなたもすでに書いているように
d(tan^(-1)x)=1/(1+x^2)*dxだから
結局これはdz/(1+z^2)=d(tan^(-1)z)=d(tan^(-1)(2y/x))です。
右辺は2dx=d(2x)ですね。

回答No.1

f272

(1)
単純に2倍しただけ
(2)
左辺は逆正接関数の微分公式どおり
右辺は2を中に入れただけ

補足

ご回答を戴いた通りなのですが、ストンと納得がいかず質問をした次第です。私の解析学に対する理解が浅いためだと思います。