数学の問題（高校入試）

質問

数学で解き方が分からない問題があります。

Q. 図２の線分PQの長さを求めよ。

正解は 8√5/5 になるようですが、求め方がわかりません。。

よろしくお願いいたします。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

ついでに△ARBも相似ですね。△ACQ ∽ △BRP ∽ △ARB
相似比は、斜辺の長さを求めてみましょう
△ACQの斜辺 = 8
△BRPの斜辺 = 4
(△ARBの斜辺)^2 = 64 + 16 = 80より、△ARBの斜辺 = 4√5
となるので、相似比 = 2 : 1 : √5
△ARBの斜辺 = AR = 4√5
△ACQの斜辺 = AC = 8より、AQ = 8 / √5 = 8√5 / 5
△ACQと△BRPの相似比は2 : 1だから、PR = AQ / 2 = 4 / √5 = 4√5 / 5
AR = 4√5だから、
PQ = AR - AQ - PR = 4√5 - 8√5 / 5 - 4√5 / 5
= √5(4 - 8/5 - 4/5) = 8√5 / 5
どうでしょうか。

お礼

中学生の私でもわかる解き方で教えてくださりありがとうございます！
おかげで解くことができました
本当に助かりました(*´ω`*)

回答No.2

asuncion

＞CQの傾き = BPの傾き = 2
＞なぜ傾き２となるのでしょうか？

ああ、そこは中学数学では習っていないんですね。失礼しました。
直交する2直線の傾きの積 = -1
という性質を使ったのですが、どうやら高校数学の範囲だったようです。
これが使えないとすると、(1)で証明した△ACQ ≡ △BAP からの誘導を
使うことになると思います。あと使えそうなのは、
直線ATの延長とBDとの交点をRとするとき、R(4, 4)であることと
△ACQ ∽ △BRP あたりでしょうか。

回答No.1

asuncion

PQ = AP - AQ = CQ - BP
CQの傾き = BPの傾き = 2
C(-4, 0), B(4, 8)
CQ：傾き = 2でC(-4, 0)を通る。y = 2x + bとおき、0 = -8 + bよりb = 8
CQの式：y = 2x + 8
Qのｘ座標:-x/2 + 6 = 2x + 8, -x + 12 = 4x + 16, 5x = -4, x = -4/5
Qのy座標:-8/5 + 8 = 32/5
Q(-4/5, 32/5)
BP:傾き = 2でB(4, 8)を通る。y = 2x + bとおき、8 = 8 + bよりb = 0
BPの式:y = 2x
Pのx座標：-x/2 + 6 = 2x, -x + 12 = 4x, 5x = 12, x = 12/5
Pのy座標:24/5
P(12/5, 24/5)
PQ^2 = (12/5 + 4/5)^2 + (24/5 - 32/5)^2 = (256 + 64)/25 = 320/25 = 64/5
PQ = 8/√5 = 8√5/5

補足

大変わかりやすいご解説ありがとうございます！

考え方と手順は理解できました。

しかし、以下の1点だけが理解できません。

CQの傾き = BPの傾き = 2

なぜ傾き２となるのでしょうか？

基礎的なことだと思うのですが全く思いつかず。。。
よろしくお願いいたします。