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楕円の寸法の、関係式を 教えてください。Part2
お世話に、なります。 また、楕円に 悩まされて、います お助けください。 添付図に、おいて 円Ciと、楕円Elは、 正接しているもの と、します。 e3が 不明な、場合 Lを、示すには どのような 関係式に、なる で、しょうか？ やはり、楕円は あまり、理解できず 困っています。 宜しく、お願いします。
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判別式は (p/a)^2-{(1/a)^2-(1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2-1}=0 ではなく (p/a^2)^2-{(1/a)^2-(1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2-1}=0 です a=e2 b=e1 p=e3 とすると L=R-a-p…(L) 円Ciの中心を原点(0,0)とすると 円の方程式は x^2+y^2=R^2…(Ci) 楕円の中心を(p,0)とすると 楕円の方程式は {(x-p)/a}^2+(y/b)^2=1…(El) 円と楕円の交点を(x,y)とすると (Ci)の両辺からx^2を引くと y^2=R^2-x^2 ↓これを(El)に代入すると {(x-p)/a}^2+(R^2-x^2)/b^2=1 (x^2-2px+p^2)/a^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1 (x/a)^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-(x/b)^2=1 ↓両辺から1を引くと {(1/a)^2-(1/b)^2}x^2-2px/a^2+(p/a)^2+(R/b)^2-1=0 円と楕円が接するから このxの2次方程式は重根を持つから その判別式D/4=0となるから D/4=(p/a^2)^2-{(1/a)^2-(1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2-1}=0 ↓両辺にa^4b^4をかけると p^2b^4-(b^2-a^2)(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2)=0 a^2(b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4)=0 ↓両辺をa^2で割ると b^2p^2+a^2R^2-a^2b^2-b^2R^2+b^4=0 ↓両辺にa^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4を加えると b^2p^2=a^2b^2+b^2R^2-a^2R^2-b^4 ↓両辺をb^2で割ると p^2=a^2+R^2-b^2-a^2R^2/b^2 ↓両辺を1/2乗すると p=√(a^2+R^2-b^2-a^2R^2/b^2) ↓これを(L)に代入すると L=R-a-√(a^2+R^2-b^2-a^2R^2/b^2) ↓a=e2,b=e1だから L=R-e2-√(e2^2+R^2-e1^2-e2^2R^2/e1^2)
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再度計算しました。 x^2+y^2=R^2, {(x-a)/a}^2+(y/b)^2=1 の２図形(円、楕円)が図のように接する条件は、上記２方程式においてｙを消去したｘの２次方程式が重解をもつことです。 再度計算の結果、 (pb)^2=(b^2-a^2)(R^2-b^2)...(*) が成り立っていることです。(p=R-L-e2, a=e2, b=e1 です) (*)を使い、数値を代入してください。また、接点のｘ座標は、 x=pb^2/(b^2-a^2). です。 第一信の計算違いをお詫びします。
お礼
有難うございます。
先の計算より、 L=R - a - (1/b)*√{(b^2 - a^2)(R^2 - b^2)}. となっています。式をよく見てください。Lは、３変数a, b, R の関数になっています。このうちのRが未定ならばLの決定はできません。
お礼
有難うございます。 やはり、だめですか 済みませんです。 処で 異を、唱える方が みられますが どの様に 解釈すれば、いい で、しょうか？
補足
申し訳、有りません ベストアンサーを 決定するに、際し お二方の、 ご呈示式が、同一か 変形を、試みましたが 私の、力量では 同一性が 確認、できませんでした 其処で 演算結果を 比較した、所 違いが、見られました。 困りましたので CADソフトで 確認した、所 此の際 fx:2.27525… と、なっているのが jcpmutura様の、値で 一方 貴兄の、演算結果は 2.222713 更に CADが、示した 実測値は 其の、下の (2.27525…) と、なっているもの でした jcpmutura様の、値が 近いように、伺えます。 私の 式の、立て方の ミスだ とは、思いますが… (..;) 以上を、もちまして 申し訳、有りませんが ベストアンサーは jcpmutura様に、させてください 尚 暫しの、間 異議を、お受けするため 開けて、おきます。 斯様な、事 と、なり 申し訳、なく 感じて、おります。 お許し、ください。
(p=e3, a=e2, b=e1, 0<a<b とする).....これは、テキスト画面では小さな添え字がかけないのでそれぞれを１文字に置き換えたものです。 e1, e2, はそれぞれ楕円の長半径、短半径 です(図を見てください)。 ※文字が多く少々複雑ですが、「２次方程式」の扱いだけで処理できます。
お礼
有難うございます。
補足
済みません、 Rも、解らない事に 気付きました。 何とか、なる… で、しょうか？ お手数ですが 宜しく お願い、します。
ｘｙ座標を用意し、円Ciの中心をOとすると、 Ci : x^2+y^2=R^2, また楕円の中心を(p, 0) とすると、 {(x-p)/a}^2+(y/b)^2=1, (p=e3, a=e2, b=e1, 0<a<b とする) このとき、R=p+a+L です。 両式からｙを消去してできるｘの２次方程式において、その判別式=0 とおくことにより、 (p/a)^2 - {(1/a)^2 - (1/b)^2}{(p/a)^2+(R/b)^2 - 1}=0. これをｐについて解き、さらに R=p+a+Lより、 L=R - a - a*√A. ただし、 A=(b^2 - a^2)(R^2 - b^2)/{(ab)^2 - (b^2 - a^2)}. なる形になりました。 ------------------------------------ ※計算ミス、タイプミスがあればなおしてください。
お礼
有難うございます。 所で a、b、は 今回で、言うと 何に、当たりますか?
お礼
有難うございます。
補足
済みません、 口幅ったい、限り なのですが L=R-e2-√(e2^2+R^2-e1^2-e2^2R^2/e1^2) は、 類焼の、範囲が 何処までか が、読めませんので お手数… とは、思いますが 何とか 何処までが、累乗なのか 何処から、何処までが 累乗で、ない 範囲か お示し 頂けませんで、しょうか？ あと、もし お許し、頂けたなら Rすらも 不明な、場合も 提示可能か お教え 頂けませんで、しょうか？ 宜しく お願い、します。