規模に関して収穫？？のチェックの仕方分かりません。

質問

生産関数で要素に関して収穫？？を確かめたい時は偏微分をして生産量が逓減しているかどうか見れば良いのだと思いますが、規模に関して収穫？？をチェックしたいときは全ての生産要素を動かさなければならないと思います。

そのやり方が分からないのですが教えていただけませんでしょうか？？

回答No.2

guowu-x · ベストアンサー

>規模に関して収穫一定ならば一次同次で一次同次ならば規模に関して収穫一定ということでしょうか？

そうです。数学の言葉では一次同次、経済学の言葉で規模に関して収穫一定というだけで両者は全く同じものです。

チェックの方法ですが、定義に従って計算するしかありません。

一般に関数Z=f(x,y)がｋ次同次関数とは
(t^k)Z=f(tx,ty)
を満たす関数のことですね。
それで、kの大きさをチェックしてやればいいということになります。
f(tx,ty)
を計算してみて
(t^k)Z=f(tx,ty)
のｋが
k＜１⇒規模に関して収穫逓減
k＝１⇒規模に関して収穫一定
k＞１⇒規模に関して収穫逓増
ですから、kがどういう値になるかをチェックすることになります。

例
z=A[αx^(-ρ)+(1-α)y(-ρ)]^(-1/ρ)
は規模に関して収穫一定でしょうか？
xのところにtxを、yのところにtyを代入してみますと
A[α(tx)^(-ρ)+(1-α)(ty)(-ρ)]^(-1/ρ)
=A[t^(-ρ){αx^(-ρ)+(1-α)y(-ρ)}]^(-1/ρ)
=At[αx^(-ρ)+(1-α)y(-ρ)]^(-1/ρ)
=tz
ですからk=１で規模に関して収穫一定です。

z=a(x^2)+bxy+c(y^2)
は同様にして、２次同次関数(k=２)であること、すなわち規模に関して収穫逓増であることが確かめられます。やってみてください。(分からなければ補足してください）

このように定義に帰ってチェックするほかありません。

お礼

本当に分かりやすい丁寧な解説有難う存じました！！！助かります！！！！！！

回答No.1

guowu-x

一般にｋ次同次関数というのは簡単に作ることができます。
Y=(K^　α)*(L^β）
とすれば、α＋β=kならk次同次関数です。
KをλKに、LをλLにして生産関数に代入してください。
すると
(λ^ｋ)Y=[(λK)^α]*[(λL)^β]；λは定数
になり、k次同次であることが確認できます。
このように、全ての変数を定数倍してそれによって、従属変数が定数の何乗倍になるかをチェックすればいいのです。
先の例では
規模に関して収穫一定とは、数学の言葉では一次同次ということですから
α+β<１⇒規模に関して収穫逓減
α+β=１⇒規模に関して収穫一定
α+β＞１⇒規模に関して収穫逓増
です。

補足

大変分かりやすいご説明ですね！
本当に助かります！！！

規模に関して収穫一定ならば一次同次で一次同次ならば規模に関して収穫一定ということでしょうか？

例でお書きのようなコブ・ダグラス型の場合はわかりました。が、CES関数のようなときはLとKのあいだが+であり、単に指数を足し合わせてもだめなのかな？と思ったりしますが、如何でしょうか？
そんなときのチェックの仕方、またより一般的なチェックの仕方を教えて頂けませんでしょうか？

申し訳御座いませんがよろしくお願い申し上げます。