社会保険労務士の楚山です。続けて回答させていただきます。
＞懲戒ではないですが、退職届には「一身上の都合により」と書かれたものを使用することになっているので、自己都合退職にあたってしまうかもしれません。
ご自身の意志や事実に反して上記の求めがあったとすれば、それは場合によっては不当解雇の可能性が疑われますが、そうでなくとも後日「離職票」という雇用保険給付の受給で必要な書類において、会社側が記載する離職理由に異議を表明することができます（そのための記載欄があります）。
その後会社側に理由の認識に労使で齟齬がある旨、ハローワークより調査が入りますので、会社側で異議の反証を示せない限り、後から「自己都合」という退職理由を覆すことは可能です。
＞退職届を書かされるのとそうでないのとでは違うと他の回答を読んで心配になるのですがどうなのでしょうか…？
退職届を自ら作成、会社に届け出、その意思表示として自己都合退職を願い出た、という前提で退職しますと、原則として直近２年間のうち１２ヵ月（連続でなくてもよいので、前職があってその離職に際して雇用保険の一定の給付を受けていなければ、通算できます）の被保険者期間がなければ、離職後の所得補償は受けられません。さらには給付制限といって、原則として離職後（厳密には待期期間通算７日経過後）３ヵ月は少なくとも給付を受けることができません。
かわって普通解雇や整理解雇、それに準じたやむを得ない事情により退職を余儀なくされたような場合は、特定受給資格者または特定理由離職者といって、先の被保険者期間の要件が直近１年間のうち６ヵ月に短縮（優遇）されます。また、給付制限もかかりません。
このような違いがあることから、離職理由はその後の雇用保険給付に大きく関わってきます。よくよく事実確認をしてください。
楚山 和司（@k_soyama） プロフィール
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社会保険労務士・保育士・キャリアコンサルタントの楚山 和司（そやま かずし）です。
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補足
ありがとうございます。 懲戒ではないですが、退職届には「一身上の都合により」と書かれたものを使用することになっているので、自己都合退職にあたってしまうかもしれません。 退職届を書かされるのとそうでないのとでは違うと他の回答を読んで心配になるのですがどうなのでしょうか…？