マンデルブロ集合についてです。

質問

マンデルブロ集合についてです。

図書館の数学の神秘、数学の式を図にした本にこれが載ってました。

見てから、頭に焼き付いてしまって、どうしても自分の頭で、方眼紙に書きたいです！
（こんなハイクオリティーでなくていいですが...）

ちなみに、モノクロで良いです。

しかし、中3なので、複素数やZ n-1とか知りません...

でも、下の図を見ていると、なんか数学の素晴らしさがジワジワ伝わってきます！

400✕400のマス目

縦軸x横軸yとして、中央をO（原点）とします。

・(x,y)を、塗るか塗らないか、この判断は中3の僕には、どのような式で判断すればいいでしょうか？

・X軸、Y軸は何マス目を1にすればいいですか？
（確か、|X| > 1.5ぐらいから書けなくなった気が...）

・式のある値を変えると、他の形、もっと神秘的な形にもなるとわかりました。（式はさっぱりですが...）塗るか塗らないかの判断式のどこに入れれば形を変えれますか？？

・（できれば）色もつけてみたいです。色の判断式もあれば...

マンデルブロ集合、中3までの数学でも、できますか？？

|--------------------|
|(-1,1) | (1,1) |
|---------O---------|
|(-1,-1)|(1,-1) |
|---------------------|

回答No.3

Water_5

中３で興味をもったのなら、高校ではわかるように
勉強したらよいではなかろうか。

不思議なこと
・範囲が何故１＞X＞－１、１＞Y－１なのか？
　複素数学の不思議。数学的に証明できるのか？

・境界があるのか？閉集合＋開集合ならある。
　閉集合＋閉集合ならないことになる。
　数学的に証明しないとな。（私は知らないの　　　　　で。）

・３階層ごとに無限に出てくる。理由を数学的に
　　証明できるのか？

回答No.2

f272

#1さんのいうとおり，手計算だと大変です。エクセルでも使えば10秒とかで計算できるでしょうが...

> (x,y)を、塗るか塗らないか、この判断は中3の僕には、どのような式で判断すればいいでしょうか？
> （できれば）色もつけてみたいです。色の判断式もあれば...

座標を(cx,cy)，またzx=zy=0として
zxx = zx*zx - zy*zy + cx
zyy = 2*zx*zy + cy
zx = zxx
zy = zyy
としてzx,zyを更新します。これを
zx * zx + zy * zy > 4
になるまで繰り返します。最大繰り返し回数(たとえば256回)になるまで4より大きくならなかったらあきらめてやめます。このとき何回で繰り返しを停止したかを記録しておきます。
最大繰り返し回数まで行ったら黒，途中で繰り返しが停止したらその回数によって色を決めます。

> X軸、Y軸は何マス目を1にすればいいですか？

X軸は-1.96から0.64まで書けば十分です。
Y軸は-1.3から1.3まで書けば十分です。

> 式のある値を変えると、他の形、もっと神秘的な形にもなるとわかりました。（式はさっぱりですが...）塗るか塗らないかの判断式のどこに入れれば形を変えれますか？？

上の判定のところを
座標を(zx,zy)，またcx，cyを適当に決めて
と読み替えます。cx，cyの決め方しだいでいろいろな図形がかけます。

回答No.1

ubku

数式は単純ですが計算量が膨大で手書きは無理でしょう。
コンピュータープログラミングを勉強して自分でプログラムを組んでみるのも面白いでしょう。