中3 工夫した因数分解

質問

先ほど、質問をしたのですが
解答してくださった人々のヒントを得て
自分でやってみたのですが、答と途中式があってるのか
全く分かりません。

(1)a²-ab+2a+b-3

a²-ab+b-a+3a-3
=(a-b)(a-1)+3(a-1)

a-1=A
a-b=Bとおく。
AB+3A
=A(B+3)
元に戻して　　(a-1)(a-b+3)

(2)(2x+1)(x-2)(2x+1)(x²-4x-2)　

2x+1=C
x-2=Dとおく
CD+CD²-6
=CD(1+D)-6
=(2x+1)(x-2)(x-2+1)-6
=(2x+1)(x-2)(x-1)-6

(3)a²-4b-1-4b²

a²-1-4b(1+b)
(a+1)(a-1)-4b(1+b)

(4)x²y²-4x²-y²+4

x²(y²-4)-(y²-4)

y²-4=Bとおく
x²B-B
B(x²-1)
(y²-4)(x²-1)
(y+2)(y-2)(x+1)(x-1)

と、書いたのですが
間違ってる所があればご指摘お願いします。

回答No.2

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

2つの質問（同じものですが）とあなたの書いていることを見て気がついたことを書きます。

まず2番目の質問についてですが(1)と(4)については、解答としては正しい。
（２）と（３）については、因数分解になっていないということです。
特に（２）はあなたの回答を見ていると、問題のここへの転記が間違っているのではないですか？

問題(2)　は　(2x+1)(x-2)(2x+1)(x²-4x-2)　ではなくて、
　　(2)　　　(2x+1)(x-2)＋(2x+1)(x²-4x-2)
ではないですか。

さて、（１）と（４）に関して、「答としては正しい」と書いたのは、とりあえず解けているけれども、実はそもそも因数分解とはなにかが理解できていないのではないか、と感じるからです。
それは、（２）と（３）が間違っていることにもつながります。

　さて因数分解というのは、その数や式を、積の（掛け算の）形にするということです。

小学校のときに習った素因数分解がそうでしたね。
ここではそこまでは戻って説明はしませんが、（２）や（３）のあなたの解答が堰の形になっていないのはわかりますね。

　さて、あなたがやっている置き換えは何のためにするのでしょうか。
それは、
難しい（あるいは複雑な）形を、置き換えによって、易しい（あるいはわかりやすい）形にするということです。

　数学すべての分野で、難しい問題は、易しい問題に（言い換えると自分が知っている形に）おきかえて、解いていくというのが、大原則です。

具体的に述べましょう。

（１）の式は、a²-ab+2a+b-3　で
　　さて、a　の式と見ると2次式、b　の式と見ると　一次式、
　　一次式と二次式とどちらが難しいですか？　当然二次式です。

　　　だからこの式は、b　の一次式、C*b+Dの形にします。

　　　すると　（１－ａ）ｂ＋（a²+2a-3）

　　　ですね。

　　　そこで　C*b+D　の形が因数分解できる（積の形になる）のなら、
ＣとＤに共通因数があるはず、

　　　易しい方の　Ｃ　をみれば、それは　1-a　または　a-1　であるはず、

　　　だから　Dの部分は　　（a²+2a-3）＝(a-1)（　　　）となるはず。

　　　　ということで、この部分をとけば

　　　（a²+2a-3）＝(a-1)（a+3）なので、元の式は

　　　　－(a-1)b+(a-1)(a+3)だから、

　　　ここで初めて　a-1　をAとおくと（という考えが出てきて）

　　　　　－Ab+A(a+3)　＝a(-b+a+3)
　　　形を整えて
　　　＝a(a-b+3)　　　　解答

　　となります。

　　(2)　(2x+1)(x-2)＋(2x+1)(x²-4x-2)
　だとしてときます。

　　　（３）は、ａもｂも二次式ですが、どちらが表れる回数が少ないですか？
　　　　　表れる回数が多いのと少ないのとでは、どちらが易しいですか？
　　　　ということで、

　　　　ここではすでにAB+ACという形ですから、　(2x+1)　＝Aとおいて

　　　(2)　A(x-2)＋A(x²-4x-2)　＝A（x-2+x²-4x-2)　これで積の形

　　　　＝A(x²-3x-4)

　　　　さらに後半を因数分解して、
　　　　＝(2x+1)(x+1)(x-３)

　　となります。

　　　（３）は、　ａもｂも二次式、ではａとｂとどちらが回数たくさん表れますか？
　　　　回数が多いのと少ないのとではどちらが易しいですか。

　　　　ということで、易しい方の　ａ　で整理しますと

　　　 (3)　a²-4b-1-4b²　＝ a²-(4b²-4b+1)
わかりますね。
　　　　ａの二次式とみれば、残りのものは定数項だからまとめているのです。
　　　　　定数項の部分は、ｂの二次式で因数分解が出来ますね。
　　　　＝ a²-(2b-1)²
　　　　　　　２ｂ－１＝Ｂと置き換えて、
　　　　=a²-Ｂ²
　　　　＝(a+B)(a-B)
もとにもどして、
　　　　＝(a+2b-1)(a-2b+1)

　　　　（４）は（ほぼ）正解だから、上の考えを使って、別の解答を書いて見ましょう。

お礼

とっても分かりやすいご回答ありがとうございました。

回答No.1

f272

(1)
OK
(2)
最後が
(2x+1)(x-2)(x-1)-6
であれば因数分解になっていません。

また最初の式は
(2x+1)(x-2)+(2x+1)(x^2-4x-2)　
の間違いだろう。

(与式)
=CD+C(D^2-6)
=C(D^2+D+-6)
=C(D+3)(D-2)
=(2x+1)(x+1)(x-4)
(3)
最後が
(a+1)(a-1)-4b(1+b)
であれば因数分解になっていません。

a^2-4b-1-4b^2
=a^2-(4b^2+4b+1)
=a^2-(2b+1)^2
2b+1=Bとおけば
(与式)
=a^2-B^2
=(a+B)(a-B)
=(a+2b+1)(a-2b-1)
(4)
OK

お礼

ありがとうございました。
分かりやすい解答でとても理解できました。