ベイズ統計の公式と積分について

質問

涌井さんの「道具としてのベイズ統計」という本で、勉強をしているのですが、理解できない点があります。

下記のベイズの公式
π（θ|D) = k f(D|θ) × π(θ) ( k = 1/p(D) )　…(1)
π（θ| D) ∝ f (D | θ) × π(θ）…(2)

より、比例定数kの計算方法がわかりません。
本では、kは確率の総和が１、すなわちθのすべてについて和が１になる性質を利用する
と記載されていますが、いまいちピンときません。

例えば、
表が出る確率がθのコインがあり、表・表・裏・裏の順に結果が出た、という問題があります。
そこで１回目の事後分布を求める際、

理由不十分の原則で事前分布はπ(θ)=1、尤度はf(表|θ)=θ
よって、事後分布π(θ|D1) ∝ θ × 1　…(3)

0≦θ≦1で確率の総和が1という条件から比例定数が求められます。
よって、１回目の事後分布π(θ|D1) = 2θ …(4)
・・・・以下省略

ここの(3)から(4)を導き出す、計算がわかりません。

どなたか、やさしく教えていただけると大変助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

π(θ|D)はθについての確率密度関数であることは理解されていますか？
確率密度関数であるので
∫ π(θ|D) dθ = 1　　（積分範囲は0≦θ≦1）
を満たさなければいけません。

(3)から
π(θ|D1) = kθ
であることが分かっているので、この両辺をθについて0から1まで積分すると
(左辺) = 1
(右辺) = ∫ kθ dθ = k/2
よって、k = 2となります。

お礼

大変わかりやすかったです。
知識は追いついておりませんが、問題を解きながら理解していきたいと思います。
ありがとうございました。